If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Εάν είστε πίσω από ένα web φίλτρο, παρακαλούμε να βεβαιωθείτε ότι οι τομείς *. kastatic.org και *. kasandbox.org δεν είναι αποκλεισμένοι.

Κύριο περιεχόμενο

Εισαγωγή στις εξισώσεις με μεταβλητές και στις δύο πλευρές

Παράδειγμα: Μάθετε να λύσετε την εξίσωση 2x + 3 = 5x - 2.  Δημιουργήθηκε από τον Σαλ Καν.

Απομαγνητοφώνηση βίντεο

Πάμε να λύσουμε μία εξίσωση. Ας πούμε ότι έχουμε 2x συν 3, Ας πούμε ότι έχουμε 2x συν 3, Ας πούμε ότι έχουμε 2x συν 3, ίσο με 5x μείον 2. ίσο με 5x μείον 2. Έχουμε x και στα δύο μέλη στα οποία προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμούς. Έχουμε x και στα δύο μέλη στα οποία προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμούς. Έχουμε x και στα δύο μέλη στα οποία προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμούς. Πώς θα το λύσουμε αυτό; Θα το δούμε με διάφορους τρόπους, και ο βασικός μας στόχος είναι να απομονώσουμε το x. και ο βασικός μας στόχος είναι να απομονώσουμε το x. Αν το καταφέρουμε αυτό, στην ουσία θα έχουμε λύσει ως προς x, δηλαδή θα βρούμε το x, Αν το καταφέρουμε αυτό, στην ουσία θα έχουμε λύσει ως προς x, δηλαδή θα βρούμε το x, άρα θα έχουμε λύσει και την εξίσωση. Στην συνέχεια, εξετάζουμε το x που βρήκαμε, αν επαληθεύει την αρχική ισότητα. Πριν το κάνουμε όμως αυτό, πάμε να οπτικοποιήσουμε λίγο την εξίσωση που έχουμε Πριν το κάνουμε όμως αυτό, πάμε να οπτικοποιήσουμε λίγο την εξίσωση που έχουμε για να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τα βήματα που ακολουθούμε στην επίλυση μίας εξίσωσης α' βαθμού. για να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τα βήματα που ακολουθούμε στην επίλυση μίας εξίσωσης α' βαθμού. Αν δούμε τι ακριβώς συμβαίνει θα είναι και πιο εύκολο να καταλάβουμε τι μπορούμε και τι δεν μπορούμε να κάνουμε. Αν δούμε τι ακριβώς συμβαίνει θα είναι και πιο εύκολο να καταλάβουμε τι μπορούμε και τι δεν μπορούμε να κάνουμε. Πάμε λοιπόν να το φτιάξουμε. Στο πρώτο μέλος έχουμε 2x που είναι κυριολεκτικά δύο x, ένα x και άλλο ένα x, Στο πρώτο μέλος έχουμε 2x που είναι κυριολεκτικά δύο x, ένα x και άλλο ένα x, και ένα 3, που είναι ίσο με 1 συν 1 συν 1. Αυτά τα τρία μπορούμε να αναπαραστήσουμε με ότι θέλουμε, θα μπορούσα να βάλω και 3 κύκλους. Αυτά τα τρία μπορούμε να αναπαραστήσουμε με ότι θέλουμε, θα μπορούσα να βάλω και 3 κύκλους. Αυτά λοιπόν είναι ίσα με 5x, Αυτά λοιπόν είναι ίσα με 5x, Αυτά λοιπόν είναι ίσα με 5x, Αυτά λοιπόν είναι ίσα με 5x, Αυτά λοιπόν είναι ίσα με 5x, 1,2,3,4,5, x, και εδώ φυσικά να τονίσω, ότι ποτέ δεν θα κάνουμε κάτι τέτοιο για να λύσουμε μία εξίσωση, και εδώ φυσικά να τονίσω, ότι ποτέ δεν θα κάνουμε κάτι τέτοιο για να λύσουμε μία εξίσωση, και εδώ φυσικά να τονίσω, ότι ποτέ δεν θα κάνουμε κάτι τέτοιο για να λύσουμε μία εξίσωση, το κάνουμε αυτό, για να καταλάβουμε καλύτερα την αλγεβρική επίλυση που θα κάνουμε εμείς. το κάνουμε αυτό, για να καταλάβουμε καλύτερα την αλγεβρική επίλυση που θα κάνουμε εμείς. το κάνουμε αυτό, για να καταλάβουμε καλύτερα την αλγεβρική επίλυση που θα κάνουμε εμείς. Στο αριστερό μέλος της ισότητας έχουμε δύο x και 3, και στο δεξιά μέλος της ισότητας έχουμε πέντε x μείον 2. μείον 1 μείον 1. Αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς x όπως λέμε, δηλαδή να απομονώσουμε το x στο ένα μέλος της ισότητας. Αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να λύσουμε ως προς x όπως λέμε, δηλαδή να απομονώσουμε το x στο ένα μέλος της ισότητας. Και πως θα το κάνουμε αυτό; Μπορούμε να αφαιρέσουμε αυτά τα δύο x από το κάθε μέλος της ισότητας, Μπορούμε να αφαιρέσουμε αυτά τα δύο x από το κάθε μέλος της ισότητας, και ο λόγος που το σκέφτομαι έτσι, είναι γιατί αν από τα 5x αφαιρέσω 2x θα μου μείνουν θετικά x, 3x, αν από τα 5x αφαιρέσω 2x θα μου μείνουν θετικά x, 3x, αλλά θα μπορούσα να αφαιρέσω και τα 5x από το κάθε μέλος της εξίσωσης. χωρίς να έχει καμία διαφορά στην επίλυση της εξίσωσης. Πάμε λοιπόν να αφαιρέσουμε δύο x, σε κάθε μέλος της ισότητας. Πάμε λοιπόν να αφαιρέσουμε δύο x, σε κάθε μέλος της ισότητας. Θα βγάλουμε δηλαδή δύο x και από τα δύο μέλη Θα βγάλουμε δηλαδή δύο x και από τα δύο μέλη αφού γνωρίζουμε ότι σε μία ισότητα μπορούμε να αφαιρέσουμε και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. αφού γνωρίζουμε ότι σε μία ισότητα μπορούμε να αφαιρέσουμε και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Τι θα μας δώσει λοιπόν αυτό; Βγάζουμε 2x από το 1ο μέλος, Βγάζουμε 2x από το 1ο μέλος, και 2x από το 2ο μέλος. Τι μας μένει τελικά στο 1ο μέλος της ισότητας; 2x συν 3 μείον 2x, φεύγουν τα 2x και μας μένει το 3. 2x συν 3 μείον 2x, φεύγουν τα 2x και μας μένει το 3. 2x συν 3 μείον 2x, φεύγουν τα 2x και μας μένει το 3. Πήραμε αυτά τα δύο x, και μας έμειναν 1 συν 1 συν 1, Πήραμε αυτά τα δύο x, και μας έμειναν 1 συν 1 συν 1, και στο 2ο μέλος έχουμε 5x μείον 2x, και στο 2ο μέλος έχουμε 5x μείον 2x, και στο 2ο μέλος έχουμε 5x μείον 2x, μας μένουν τρία x, που είναι ίσο με 3x μας μένουν τρία x, που είναι ίσο με 3x και μείον 2 ακόμα. Μείον 2. Θυμηθείτε ότι στόχος μας είναι να απομονώσουμε το x, κάτι που ήδη έχουμε κάνει στο δεξιά μέλος της ισότητας. Αν τώρα καταφέρουμε να ξεφορτωθούμε και αυτό το -2 από το 2ο μέλος, τότε θα έχουμε μόνο x. Αν τώρα καταφέρουμε να ξεφορτωθούμε και αυτό το -2 από το 2ο μέλος, τότε θα έχουμε μόνο x. Αν τώρα καταφέρουμε να ξεφορτωθούμε και αυτό το -2 από το 2ο μέλος, τότε θα έχουμε μόνο x. Για να ξεφορτωθούμε αυτό το -2, δείτε καλύτερα εδώ που έχουμε μείον 1, μείον 1, Για να ξεφορτωθούμε αυτό το -2, δείτε καλύτερα εδώ που έχουμε μείον 1, μείον 1, Για να ξεφορτωθούμε αυτό το -2, δείτε καλύτερα εδώ που έχουμε μείον 1, μείον 1, μπορούμε απλά να προσθέσουμε 2 σε κάθε μέλος της ισότητας. Προσθέτουμε 2 σε κάθε μέλος, δηλαδή συν 1 συν 1, Προσθέτουμε 2 σε κάθε μέλος, δηλαδή συν 1 συν 1, που κυριολεκτικά είναι ίσο με συν 2, και κάνουμε και το ίδιο στο 1ο μέλος της εξίσωσης, συν 1 συν 1. Πάμε να το κάνουμε και εδώ. Προσθέτουμε 2 σε κάθε μέλος χωριστά. Προσθέτουμε 2 σε κάθε μέλος χωριστά. Τι έχει μείνει στο 1ο μέλος της ισότητας; 3 και 2 είναι ίσο με 5, και εδώ έχουμε 3x μείον 2 συν 2, φεύγουν τα δυάρια και μας μένει το 3x. φεύγουν τα δυάρια και μας μένει το 3x. Πάμε να το δούμε και εδώ. Στο 1ο μέλος έχουμε 1 συν 1 συν 1 συν 1 συν 1 που είναι ίσο με 5, Στο 1ο μέλος έχουμε 1 συν 1 συν 1 συν 1 συν 1 που είναι ίσο με 5, και στο 2ο μέλος έχουμε 3x, και στο 2ο μέλος έχουμε 3x, μείον 1 μείον 1, συν 1 συν 1 , οι αντίθετοι έχουν άθροισμα 0, μείον 1 μείον 1, συν 1 συν 1 , οι αντίθετοι έχουν άθροισμα 0, μείον 1 μείον 1, συν 1 συν 1 , οι αντίθετοι έχουν άθροισμα 0, μείον 1 μείον 1, συν 1 συν 1 , οι αντίθετοι έχουν άθροισμα 0, και μας μένουν τρία x. Ας σβήσουμε λίγο αυτά που έχουμε διώξει για να φαίνεται λίγο πιο καθαρά τι έχει μείνει. Ας σβήσουμε λίγο αυτά που έχουμε διώξει για να φαίνεται λίγο πιο καθαρά τι έχει μείνει. Ας σβήσουμε λίγο αυτά που έχουμε διώξει για να φαίνεται λίγο πιο καθαρά τι έχει μείνει. Έχουμε λοιπόν 1,2,3,4,5, που είναι ίσο με 3x. Τώρα για να λύσουμε αυτό, όπως έχουμε μάθει, διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με 3 Τώρα για να λύσουμε αυτό, όπως έχουμε μάθει, διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με 3 Τώρα για να λύσουμε αυτό, όπως έχουμε μάθει, διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με 3 κάτι που δεν είναι εύκολο να δούμε εδώ, Διά 3, και στο 2ο μέλος διά 3. Το 3 που πολλαπλασιάζεται με το x, Το 3 που πολλαπλασιάζεται με το x, λέγεται συντελεστής του x, και είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με μία μεταβλητή. λέγεται συντελεστής του x, και είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με μία μεταβλητή. λέγεται συντελεστής του x, και είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με μία μεταβλητή. Λύνουμε ως προς x, σβήνουμε τα τριάρια, Λύνουμε ως προς x, σβήνουμε τα τριάρια, και στο δεξιά μέλος της ισότητας μας έχει μείνει ένα x. Στο 1ο μέλος έχουμε 5/3, άρα το x είναι ίσο με 5/3. Στο 1ο μέλος έχουμε 5/3, άρα το x είναι ίσο με 5/3. Δεν μας πειράζει που το x έχει μείνει στο 2ο μέλος της ισότητας, Δεν μας πειράζει που το x έχει μείνει στο 2ο μέλος της ισότητας, Δεν μας πειράζει που το x έχει μείνει στο 2ο μέλος της ισότητας, Δεν μας πειράζει που το x έχει μείνει στο 2ο μέλος της ισότητας, αφού είτε πούμε ότι το 5/3 είναι ίσο με x, είτε πούμε ότι το x είναι ίσο με 5/3 είναι ακριβώς το ίδιο. είτε πούμε ότι το x είναι ίσο με 5/3 είναι ακριβώς το ίδιο. είτε πούμε ότι το x είναι ίσο με 5/3 είναι ακριβώς το ίδιο. Συνηθίζουμε να αφήνουμε το x στο 1ο μέλος της ισότητας, αλλά δεν έχει καμία σημασία. Συνηθίζουμε να αφήνουμε το x στο 1ο μέλος της ισότητας, αλλά δεν έχει καμία σημασία. Τώρα αν θέλουμε να γράψουμε και το 5/3 ως μικτό αριθμό, το 3 στο 5 χωράει 1 φορά και αφήνει υπόλοιπο 2, το 3 στο 5 χωράει 1 φορά και αφήνει υπόλοιπο 2, άρα αυτό είναι ίσο με 1 και 2/3. άρα αυτό είναι ίσο με 1 και 2/3. Μπορούμε να γράψουμε λοιπόν ότι το x = 1 2/3. Σας προτείνω να κάνετε μόνοι σας αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα. Σας προτείνω να κάνετε μόνοι σας αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα. Σας προτείνω να κάνετε μόνοι σας αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα. Τώρα για να το δούμε λίγο και εδώ. Αντί για άσσους θα χρησιμοποιήσουμε τετράγωνα, θα το αλλάξουμε, Έχουμε λοιπόν 5 τετράγωνα, 1, 2, 3, 4, 5. που είναι ίσο με 3x, x συν x, συν x. Θέλουμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της ισότητας με το 3. Στο 2ο μέλος αυτά τα 3x θέλουμε να τα χωρίσουμε σε 3 ομάδες που είναι εύκολο, 1 , 2, 3 ομάδες, Πώς όμως χωρίζουμε το 5 σε 3 ίσες ομάδες; Για αυτό θα μας βοηθήσει η απάντηση που βρήκαμε όπου κάθε ομάδα θα έχει 1 και 2/3 , τα 2/3 αυτού του τετραγώνου. 1 και 2/3. Εδώ έχουμε 1/3 και 1 ολόκληρο άρα θέλουμε άλλο 1/3 από εδώ, και εδώ μας έχουν μείνει 2/3 και άλλο 1 ολόκληρο. Χωρίσαμε λοιπόν σε 3 ίσες ομάδες, 1 και 2/3 1/3, άλλο 1/3 και 1 ολόκληρο, και 2/3, 1 ολόκληρο ακόμα, 1 και 2/3. Κάθε ομάδα στο 1ο μέλος είναι ίση με 1 και 2/3 ή 5/3 όπως είδαμε εδώ, και στο δεξί μέλος κάθε ομάδα είναι ίση με x.