Converting repeating decimals to fractions (part 2 of 2)

Στο τελευταίο βίντεο κάναμε μερικά παραδείγματα όπου είχαμε δεκαδικούς με ένα επαναλαμβανόμενο ψηφίο και μπορέσαμε να τους μετατρέψουμε σε κλάσματα και σε αυτό το βίντεο θέλω να κοιτάξουμε κάτι λιγάκι πιο ενδιαφέρον, να έχουμε πολλά επαναλαμβανόμενα ψηφία Ας πούμε ότι έχουμε 0.26 επαναλαμβανόμενο, που είναι το ίδιο με 0 κόμμα, αφού η μπάρα είναι πάνω και από το 3 και από το 6 επαναλαμβάνονται και τα δύο, 363636...και συνεχίζει επ' αόριστον. Το κλειδί για αυτού του είδους τα προβλήματα είναι αντί να πολλαπλασιάσουμε έτσι όπως κάναμε στο τελευταίο βίντεο που είπαμε ότι αυτό ισούται με x, αντί να πολλαπλασιάσουμε με 10, το 10 θα το μετακινούσε μόνο μία θέση, θέλουμε να πάμε το κόμμα τόσο όσο χρειάζεται ώστε να... ώστε ύστερα να τα αντιστοιχίσουμε, τα μέρη των δεκαδικών θα είναι και πάλι το ένα κάτω από το άλλο. Και για να το κάνουμε αυτό, θέλουμε να μετακινήσουμε την υποδιαστολή δύο θέσεις δεξιά. Και για να τη μετακινήσουμε 2 θέσεις δεξιά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με 100, ή 10 στη δευτέρα. Έτσι, 100x θα ισούται με τι; Μετακινούμε αυτό δύο θέσεις δεξιά. Μία...δύο... Έτσι, 100x ισούται με, ισούται με, η υποδιαστολή θα είναι εδώ τώρα. Άρα θα είναι 36.363636... κλπ κλπ για πάντα. Ας ξαναγράψω το x εδώ, θα το αφαιρέσουμε από το 100x, το x ισούται με 0.36...36...36...36 και λοιπά. Και προσέξτε πως όταν πολλαπλασιάζουμε με 100, τα τριάρια και τα εξάρια πάλι στοιχίζονται μεταξύ τους. Όταν βάζουμε τα δεκαδικά, πρέπει πάντα να προσέχουμε να τα γράφουμε σωστά, και ο λόγος για τον οποίο αυτό είναι χρήσιμο είναι γιατί τώρα που αφαιρούμε x από 100x, αυτό, τα επαναλαμβανόμενα μέρη αλληλοακυρώνονται. Ας αφαιρέσουμε, λοιπόν, ας αφαιρέσουμε αυτά τα δύο. Έτσι, στα αριστερά έχουμε 100x μείον x, που μας δίνει 99x. Και τώρα πάμε στη δεξιά πλευρά, αυτό το μέρος αναιρείται με αυτό και έτσι μένουμε μόνο με 36, μένει μόνο το 36. Μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το 99 και τότε μένουμε με το x = 36/99 όπου και ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται από το 9, οπότε μπορούμε να το μικρύνουμε, διαιρούμε τον αριθμητή με 9 και παίρνουμε 4. Τον παρονομαστή με 9, παίρνουμε 11, άρα 0.363636... είναι 4/11. Ας κάνουμε ακόμα ένα ενδιαφέρον. Ας πούμε ότι έχω, και θα το θέσω ίσο με x, ας πούμε ότι έχω τον αριθμό... 0.1714 και το 14 επαναλαμβάνεται. Οπότε είναι το ίδιο πράγμα, αλλά παρατηρείστε ότι το 714 δε θα επαναλαμβάνεται ολόκληρο, μόνο το 14 θα επαναλαμβάνεται, οπότε θα είναι 0.7141414... Λέμε, λοιπόν, ότι ισούται με x. Τώρα ίσως μπείτε σε πειρασμό να το πολλαπλασιάσετε με το 1000, για να μετακινήσετε την υποδιαστολή μακριά από το 714. Αλλά βασικά δεν θέλετε να το κάνετε αυτό, θέλετε να την μετακινήσετε όσο χρειάζεται για να είναι το επαναλαμβανόμενο μέρος ακριβώς κάτω από το άλλο όταν κάνετε την αφαίρεση. Έτσι ξανά σε αυτή την περίπτωση, αν και έχουμε τρεις δεκαδικούς αριθμούς επειδή επαναλαμβάνονται μόνο οι δύο πρέπει απλά να το πολλαπλασιάσουμε με 10 στη δευτέρα. Ξανά, λοιπόν, το πολλαπλασιάζουμε με 100 και έχουμε 100x ισούται με.... μετακινούμε την υποδιαστολή 2 θέσεις δεξιά... Μία... δύο... οπότε τώρα θα είναι 71.414141... Θα είναι 71.414141... και ας ξαναγράψω το x από κάτω του, αυτό το x ισούται με 0.7141414... και παρατηρείστε πως τα 14 είναι ακριβώς κάτω το ένα από το άλλο, οπότε θα λειτουργήσει όταν αφαιρέσουμε. Ας τα αφαιρέσουμε λοιπόν. 100x μείον x κάνει 99x, και αυτά τα 14 θα αναιρέσουν αυτά τα 14. Τώρα έχουμε 71,4 μείον 0.7, μπορούμε να το κάνουμε στο κεφάλι μας ή μπορούμε να δανειστούμε αν θέλετε, θα μπορούσε αυτό να είναι 14, αυτό μηδέν, οπότε έχετε .4, 14 - 7 = 7, και 70 - 0 άρα 99x ισούται με 70.7 και ύστερα διαιρούμε και τις δύο πλευρές με το 99 και τώρα αρχίζουν τα περίεργα γιατί έχουμε ακόμα δεκαδικό, αλλά θα το φτιάξουμε αυτό στο τέλος. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με 99. Ας διαιρέσουμε με 99, έχουμε x = 70.7/99 Προφανώς δεν το έχουμε σε καθαρό κλάσμα ακόμα αφού έχουμε δεκαδικό στον αριθμητή, αλλά αυτό είναι απλό να το φτιάξουμε, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 10 για να ξεφορτωθούμε το δεκαδικό, ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τον αριθμητή με 10 και τον παρονομαστή με 10, ώστε παίρνουμε 707 707/990. Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα εδώ. Ας πούμε ότι έχουμε κάτι του στιλ... ας το γράψω, 3.257257257... και θέλουμε να το μετατρέψουμε σε κλάσμα. Ξανά λοιπόν, αυτό είναι ίσο με x, και ξέρουμε ότι αυτό θα είναι 3.257257257.... Αφού επαναλαμβάνονται 3 ψηφία θέλουμε να το πολλαπλασιάσουμε με 1000x, 10 στην τρίτη δύναμη επί x, και αυτό θα μετακινήσει την υποδιαστολή όσο πρέπει ώστε τα επαναλαμβανόμενα μέρη να αλληλοαναιρεθούν. οπότε έχουμε, 1000x, το 1000x θα ισούται με τι; Μπορούμε να μετακινήσουμε το σημείο των δεκαδικών προς τα δεξιά, μία, δύο, τρεις θέσεις, και θα είναι 3257.257257257... Τ0 257 συνεχίζει για πάντα και ύστερα θα αφαιρέσουμε το x από αυτό οπότε θα είναι χ , ίσο με 3, θέλετε να είστε σίγουροι ότι το σημείο των δεκαδικών είναι ευθυγραμμισμένο με το 3.257257257... επ' άπειρον, παρατηρείστε πως όταν πολλαπλασιάζουμε με 1000 μας επιτρέπεται να ευθυγραμμίσουμε τα 257 έτσι ώστε όταν αφαιρέσουμε το επαναλαμβανόμενο σημείο να ακυρώνεται. Ας κάνουμε λοιπόν την αφαίρεση, στην αριστερή μεριά έχουμε 1000 από κάτι μέιον 1 από κάτι απομένει 999 από αυτό το κάτι που ισούται με... αυτό το σημείο αναιρείται με αυτό το σημείο, ισούται λοιπόν με... αυτό είναι 7 μείον 3 κάνει 4, και μετά έχουμε αυτό το 5 και το 2 και το 3 οπότε έχουμε 900 και 99x ίσο με 3254. Και ύστερα μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή....εεεμ να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές του 999 με 900 και 99 και μένουμε με x = 3254/999 και προφανώς αυτό είναι καταχρηστικό κλάσμα, ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Μπορούμε να το μετατρέψουμε σε απλό κλάσμα αν θέλουμε, ένας τρόπος είναι να βρούμε με τι ισούται το .254254254... και να έχουμε το 3 σαν τον ακέραιο ενός μεικτού κλάσματος ή απλά να διαιρέσουμε το 3254 με το 999. Βασικά μπορούμε να το κάνουμε σχετικά απλά, χωράει 3 φορές και το υπόλοιπο... ας κάνω όλη τη διαίρεση. Το 999 χωράει στο 3254 τρεις φορές, το ξέρουμε γιατί αυτό ήταν αρχικά 3.257 οπότε θα βρούμε ποιο είναι το υπόλοιπο, έτσι 3 x 9 κάνει 27 3 x 9 = 27, προσθέτουμε το 2, έχουμε 29. 3 x 9 = 27 , + 2 = 29. Έτσι μένουμε με... αν αφαιρέσουμε, ή ομαδοποιήσουμε ή δανειστούμε ή όπως θέλουμε να το πούμε, αυτό θα είναι 14, αυτό θα είναι 4, ας το κάνω με καινούργιο χρώμα, αυτό θα είναι 4, και το 4 και πάλι είναι μικρότερο από το 9, οπότε ξαναδανειζόμαστε, και αυτό θα είναι 14, αυτό θα μπορούσε να είναι 1 αλλά είναι μικρότερο και πάλι από αυτό το 9, οπότε ξαναδανειζόμαστε, θα είναι 11 και μετά αυτό το 2, 14 - 7 = 7, 14 - 9 = 5 11 - 9 = 2, και μένουμε λοιπόν με ας το κάνω σωστά, ισούται λοιπόν με 3 257/999 και είμαστε έτοιμοι.