If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Εάν είστε πίσω από ένα web φίλτρο, παρακαλούμε να βεβαιωθείτε ότι οι τομείς *. kastatic.org και *. kasandbox.org δεν είναι αποκλεισμένοι.

Κύριο περιεχόμενο

Worked example: Cube root of a negative number

Learn how to find the cube root of -512. Δημιουργήθηκε από Σαλ Καν και Monterey Ινστιτούτο Τεχνολογίας και Εκπαίδευσης.

Απομαγνητοφώνηση βίντεο

Μας ρωτάνε να βρούμε την κυβική ρίζα του -512. Ή αλλιώς έχουμε έναν αριθμό ο οποίος είναι ίσος με την κυβική ρίζα του -512. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρω αυτόν ον αριθμό και τον υψώσω στην τρίτη, παίρνω -512. Και αν δεν σας είναι προφανές ποια είναι η κυβική ρίζα, ή αλλιώς ποιον αριθμό πρέπει να υψώσουμε στην τρίτη για να πάρουμε -512, το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να το παραγοντοποιήσουμε σε πρώτους αριθμούς. Αλλά προτού κάνουμε την παραγοντοποίηση και δούμε ποιοι από τους παράγοντες εμφανίζονται τουλάχιστον τρεις φορές, ας σκεφτούμε λίγο σχετικά με το αρνητικό πρόσημο. Το -512 είναι το ίδιο με, ας το ξαναγράψω αλλιώς, είναι το ίδιο, λοιπόν, με την κυβική ρίζα του -1 επί 512. Το οποίο είναι ίσο με την κυβική ρίζα του -1 επί την κυβική ρίζα του 512. Αυτό είναι αρκετά απλό. Ποιος αριθμός, αν τον υψώσω στην τρίτη μου δίνει -1; Το -1. Αυτό εδώ είναι ίσο με -1. -1 στην τρίτη είναι ίσο με το -1 επί -1 επί -1. Άρα η κυβική ρίζα του -1 είναι το -1. Άρα, γίνεται -1 επί αυτό εδώ. -1 επί την κυβική ρίζα του 512. Και ας δούμε με τι είναι ίση αυτή. Ας κάνουμε λοιπόν την παραγοντοποίηση. Το 512 είναι 2 επί 256. Το 256 είναι 2 φορές το 128. Το 128 είναι 2 φορές το 64. Και ήδη βλέπουμε το 2 τρεις φορές. Το 64 είναι 2 επί 32 και το 32, 2 φορές το 16. Έχουμε πολλά 2 ,λοιπόν. Το 16 είναι 2 επί 8, το 8 είναι 2 επί 4 και το 4 2 επί 2. Άρα έχουμε πολλά δυάρια. Άρα, ουσιαστικά, αν πολλαπλασιάσεις το 2 μια, δυο, τρεις, τέσσερις , πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννιά φορές έχεις 512. Άρα, 2 στην ενάτη κάνει 512 και αυτό από μόνο του, θα έπρεπε να σας δίνει μια ιδέα για το ποια είναι η κυβική ρίζα του 512. Αλλά ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτεί κάποιος είναι: μπορούμε να βρούμε (έχουμε σίγουρα τρία δυάρια εδώ) 3 ομάδες από δυάρια ή μάλλον ας το δούμε αλλιώς. Μπορούμε να βρούμε τρεις ομάδες από 2 δυάρια. 2 επί 2 είναι 4 και το 4 διαιρείται μ'αυτό, αλλά ακόμα καλύτερα, μπορούμε να βρούμε τρεις ομάδες από τρία δυάρια. Μια, δύο, τρεις ομάδες. Άρα, για κάθε μια ομάδα απ' αυτές, 2 επί 2 επί 2 μας κάνει 8. Άρα, θα μπορούσαμε να γράψουμε, ότι το 512 είναι ίσο με 8 επί 8 επί 8. Και μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτήν την έκφραση εδώ, ως την κυβική ρίζα του 8 επί 8 επί 8. Άρα αυτό είναι ίσο με μείον την κυβική ρίζα του 8 φορές το 8 φορές το 8. Άρα, είναι σαν να ρωτάμε: ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του 3 φορές, ή αλλιώς να υψώσουμε στην τρίτη, για να πάρουμε το 512, το οποίο είναι ίσο με 8 φορές το 8 φορές το 8; Η απάντηση προφανώς είναι το 8. Αυτό εδώ θα απλοποιηθεί σε 8 και η απάντησή μας στο ποια είναι η κυβική ρίζα του -512 θα είναι το -8. Και τελειώσαμε. Και μπορείτε να ελέγξετε εάν αυτό είναι σωστό. Απλά πολλαπλασιάστε το -8 τρεις φορές. -8 επί -8 είναι ίσο με +64 και αν το πολλαπλασιάσετε αυτό μ το -8 θα πάρετε -512.