Αναγνωρίζοντας τους πρώτους και σύνθετους αριθμούς

Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι, σύνθετοι ή τίποτα από τα δύο. Ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος Ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος δηλαδή ένας φυσικός, 1,2,3,4,5,6, κλπ είναι πρώτος δηλαδή ένας φυσικός, 1,2,3,4,5,6, κλπ είναι πρώτος αν διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. αν διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα ένας τέτοιος αριθμός είναι το 3. Το 3 διαιρείται μόνο με το 1 και το 3. Το 3 διαιρείται μόνο με το 1 και το 3. Το 3 διαιρείται μόνο με το 1 και το 3. Το 3 γράφεται ως γινόμενο φυσικών αριθμών μόνο ως 1 επί 3. Σύνθετος τώρα είναι ένας φυσικός αριθμό που έχει και άλλους διαιρέτες εκτός του 1 και του εαυτού του. Ας δούμε λοιπόν το 24. Ας πάρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς, Ας πάρουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς, εκτός του μηδέν, εκτός του μηδέν, που διαιρούμενοι με το 24 αφήνουν υπόλοιπο 0. που διαιρούμενοι με το 24 αφήνουν υπόλοιπο 0. Αυτοί λέγονται διαιρέτες του 24. Το 24 λοιπόν διαιρείται με το 1 αφού 1 επί 24 κάνει 24. Αλλά διαιρείται επίσης και με το 2. 2 x 12 κάνει 24, άρα διαιρείται και με το 12. 2 x 12 κάνει 24, άρα διαιρείται και με το 12. Επίσης διαιρείται με το 3. 3 x 8 κάνει 24, άρα διαιρείται και με το 8. Σε αυτό το σημείο, δεν χρειάζεται να βρούμε όλους τους διαιρέτες του 24 για να δούμε αν είναι πρώτος. Αφού ήδη έχουμε βρει και άλλους διαιρέτες εκτός του 1 και του εαυτού του, τότε το 24 είναι σύνθετος αριθμός. τότε το 24 είναι σύνθετος αριθμός. Ας βρούμε όμως και τους υπόλοιπους διαιρέτες του. Διαιρείται επίσης και με το 4 αφού 4 επί 6 κάνει 24 Διαιρείται επίσης και με το 4 αφού 4 επί 6 κάνει 24 άρα διαιρείται και από το 6. Επομένως όλοι αυτοί είναι διαιρέτες του 24 που φαίνεται καθαρά ότι δεν είναι μόνο το 1 και το 24. Πάμε τώρα να δούμε το 2. Οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 είναι το 1 και το 2, αφού δεν υπάρχει κάποιο άλλο γινόμενο φυσικών που να κάνει 2. Άρα οι μοναδικοί διαιρέτες του 2 είναι το 1 και το 2, δηλαδή του 1 και του εαυτού του που αυτός είναι και ο ορισμός των πρώτων. Άρα το 2 είναι πρώτος αριθμός. Το 2 τώρα έχει ενδιαφέρον, Οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2, Οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 2, και το 2 προφανώς διαιρείται με το 2 αλλά επειδή διαιρείται μόνο με το 1 και το 2, δηλαδή τον εαυτό του είναι και πρώτος. Ενώ όλοι οι υπόλοιποι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται σίγουρα με το 1, τον εαυτό τους εξ ορισμού λοιπόν οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται με το 1, τον εαυτό τους και κάτι άλλο, άρα είναι σίγουρα σύνθετοι. Το 2 λοιπόν είναι ο μοναδικός ζυγός αριθμός που είναι πρώτος ενώ όλοι οι υπόλοιποι ζυγοί είναι σύνθετοι. Πάμε τώρα να συζητήσουμε το 1. Το 1 διαιρείται μόνο με το 1 άρα δεν μπορεί να είναι πρώτος αφού έχει ένα μόνο διαιρέτη. άρα δεν μπορεί να είναι πρώτος αφού έχει ένα μόνο διαιρέτη. Αν και το 1 διαιρείται με το 1 και τον εαυτό του δεν μπορεί να είναι πρώτος γιατί για να είναι πρώτος πρέπει να έχει ακριβώς δύο διαιρέτες. Το 1 έχει ένα μόνο διαιρέτη. Για να είναι σύνθετος τώρα πρέπει να έχει πάνω από δύο διαιρέτες το 1, τον εαυτό του και κάτι άλλο άρα το 1 δεν είναι ούτε σύνθετος. Το 1 λοιπόν δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος άρα τίποτα από τα δύο. Τέλος πάμε στο 17. Το 17 διαιρείται με το 1 και το 17, και δεν διαιρείται με κάτι άλλο. Δεν διαιρείται ούτε με το 2, ούτε με το 3, ούτε με το 4, ούτε με κάποιο από τα 5, 6, 7,8,9,10,11,12,13,14,15,16. Έχει ακριβώς δύο διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του Έχει ακριβώς δύο διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του άρα το 17 είναι επίσης πρώτος αριθμός.