Κοινοί παρονομαστές: 1/4 και 5/6

Έχουμε τα κλάσματα 1/4 και 5/6 και θέλουμε να τα γράψουμε με ίδιους παρανομαστές και διαφορετικούς αριθμητές. Ποιός είναι ο κοινός παρανομαστής που μπορούν να έχουν τα κλάσματα; Έχουμε λοιπόν τα κλάσματα 1/4 και 5/6 και θέλουμε να τα γράψουμε με έναν άλλο παρανομαστή. Οι παρανομαστές που έχουμε είναι 4 και 6, και μπορούμε να βάλουμε ότι αριθμό θέλουμε; Μπορούμε για παράδειγμα να βάλουμε παρανομαστή 5; Η απάντηση είναι όχι. Αυτό που χρειάζεται, είναι να βρούμε ένα κοινό πολλαπλάσιο των 4 και 6, έτσι ώστε, να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και το 4 και το 6 για να φτιάξουμε τον καινούριο αυτόν παρανομαστή. Για παράδειγμα τα πολλαπλάσια του 4 Για παράδειγμα τα πολλαπλάσια του 4 είναι το 4, 4 επί 2, 8 4 επί 3, 12 κ.ο.κ. Μερικά πολλαπλάσια του 4. Πάμε να καταλάβουμε λίγο καλύτερα γιατί ψάχνουμε κοινό πολλαπλάσιο των 4 και 6. και γιατί δεν μπορούμε να διαλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό. Όπως ξέρουμε, για να παραστήσουμε το 1/4, Όπως ξέρουμε, για να παραστήσουμε το 1/4, σε ένα ολόκληρο που έχουμε χωρίσει σε τέταρτα, σε ένα ολόκληρο που έχουμε χωρίσει σε τέταρτα, χρωματίζουμε το 1 από αυτά τα 4 ίσα μέρη. Αν θέλαμε να έχουμε αριθμητή 2 για παράδειγμα, Αν θέλαμε να έχουμε αριθμητή 2 για παράδειγμα, τότε μπορούμε να χωρίσουμε αυτό στη μέση, και να πάρουμε 2 από αυτά. Αυτό που έχουμε, σχεδιάσει όμως εδώ, είναι 2 από 5 ίσα κομμάτια; Όχι βέβαια! Δεν είναι τα 2/5 γιατί δεν έχουμε 5 ίσα μέρη. Πρέπει να χωρίσουμε λοιπόν όλα αυτά τα τέταρτα στη μέση, διπλασιάζοντας τα ίσα κομμάτια μας διπλασιάζοντας τα ίσα κομμάτια μας σε 2 κομμάτια άλλα 2 ίσα κομμάτια και άλλα 2 ίσα κομμάτια, και τώρα, έχουμε πάρει 2 από τα, 1,2,3,4,5,6,7,8 ίσα μέρη, Έχουμε πάρει τα 2/8. Παρατηρήστε τώρα ότι το 8 είναι πολλαπλάσιο του 4. Χωρίσαμε στη μέση, άρα διπλασιάσαμε, επομένως πολλαπλασιάσαμε το 4 με το 2, που κάνει 8. Ο αριθμητής, επίσης πολλαπλασιάστηκε με το 2. Διπλασιάσαμε τα ίσα μέρη του ολόκληρου, άρα διπλασιάζονται και τα χρωματισμένα μέρη που θα πάρουμε. Αυτό που μόλις κάναμε γίνεται με οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 4. Αυτό που μόλις κάναμε γίνεται με οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 4. Για παράδειγμα, αν χρωματίσουμε ξανά το 1/4 αν χρωματίσουμε ξανά το 1/4 και χωρίσουμε το ένα τέταρτο σε 3 ίσα μέρη τότε ο αριθμητής μας γίνεται 3, από τα πόσα όμως ίσα κομμάτια του παρανομαστή; Δεν έχουμε χωρίσει ακόμα το ολόκληρό σε ίσα μέρη και για να το κάνουμε αυτό, χωρίζουμε και τα υπόλοιπα τέταρτα σε 3 ίσα μέρη. χωρίζουμε και τα υπόλοιπα τέταρτα σε 3 ίσα μέρη. Τριπλασιάζουμε δηλαδή τα τέταρτά μας, πολλαπλασιάζουμε δηλαδή με το 3. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ίσα μέρη. Τριπλασιάσαμε, άρα στην ουσία, αυτό που κάναμε, πολλαπλασιάσαμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με το 3. Τα 8, 12 κλπ που γράψαμε είναι πολλαπλάσια του 4, και δείτε ότι μπορούμε να διαλέξουμε μόνο έναν τέτοιο παρανομαστή για να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με κάτι έτσι ώστε να πάρουμε ίσα κομμάτια στο ολόκληρο. Το 1/4, 2/8 και 3/12 είναι ισοδύναμα κλάσματα, αφού καλύπτουν την ίδια επιφάνεια του κύκλου. Παριστάνουν το ίδιο μέρος στο ολόκληρο... απλά έχουμε χωρίσει, σε διαφορετικό αριθμό ίσων κομματιών. Πάμε τώρα να βρούμε έναν κοινό παρανομαστή που να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τα τέταρτα και τα έκτα. Σε αυτό το σημείο χρειάζεται να γράψουμε μερικά πολλαπλάσια. 4 επί 1, 4 4 επί 2, 8, 4 επί 3, 12 4 επί 4, 16, 4 επί 5, 20 4 επί 6, 24 κ.ο.κ. Ο λόγος που σταματήσαμε εδώ, είναι γιατί το 24, είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μας δίνουν στις απαντήσεις. Πάμε να κάνουμε το ίδιο και στα έκτα. 6 επί 1, 6. Αν διπλασιάσουμε τα έκτα μας, 6 επί 2 κάνει 12 άρα παίρνουμε 12 κομμάτια, 3 επί 6, 18 4 επί 6, 24, τετραπλασιάζουμε τα έκτα μας, άρα γίνονται 24. τετραπλασιάζουμε τα έκτα μας, άρα γίνονται 24. Τι αριθμό λοιπόν, μπορούμε να βάλουμε ως κοινό παρανομαστή των 2 αυτών κλασμάτων; Μπορούμε να βάλουμε 8; Το 8 είναι πολλαπλάσιο του 4 άρα μπορούμε να χωρίσουμε τα τέταρτα σε όγδοα, αλλά επειδή δεν είναι πολλαπλάσιο του 6 δεν μπορούμε να πάμε από τα έκτα στα όγδοα. δεν μπορούμε να πάμε από τα έκτα στα όγδοα. Το 8 λοιπόν δεν μας κάνει. Το 8 λοιπόν δεν μας κάνει. Το 12; Το 12 είναι πολλαπλάσιο και του 4 και του 6, άρα μπορούμε να χωρίσουμε και τα τέταρτα και τα έκτα σε 12 ίσα μέρη. άρα μπορούμε να χωρίσουμε και τα τέταρτα και τα έκτα σε 12 ίσα μέρη. Το 12 μας κάνει, άρα μπορούμε να γράψουμε και τα 2 κλάσματα με παρανομαστή 12. Το 18 είναι πολλαπλάσιο του 6 επομένως μπορούμε να χωρίσουμε τα έκτα σε 18 ίσα κομμάτια, αλλά δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 άρα δεν μπορεί να γραφτεί ως κοινός παρανομαστής, και το 24, είναι κοινό πολλαπλάσιο του 4 και του 6 είναι κοινό πολλαπλάσιο του 4 και του 6. είναι κοινό πολλαπλάσιο του 4 και του 6. Επομένως μπορούμε να φτιάξουμε κοινό παρανομαστή με το 12 ή το 24. Γενικά προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών που έχουμε, που σε αυτήν την περίπτωση είναι το 12, και λόγος που το κάνουμε και λόγος που το κάνουμε είναι να για να κάνουμε τις πράξεις μας πιο απλές. Δεν είναι όμως κανόνας αυτός. Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και το 12 και το 24 με τα δωδέκατα όμως θα δουλέψουμε με μικρότερους αριθμούς. με τα δωδέκατα όμως θα δουλέψουμε με μικρότερους αριθμούς. Για την ερώτησή μας λοιπόν ποιο κοινό παρανομαστή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στα έκτα και τα τέταρτα, η απάντηση μας είναι το 12 και το 24.