If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Εάν είστε πίσω από ένα web φίλτρο, παρακαλούμε να βεβαιωθείτε ότι οι τομείς *. kastatic.org και *. kasandbox.org δεν είναι αποκλεισμένοι.

Κύριο περιεχόμενο

Μέτρηση γωνιών & κυκλικά τόξα

Απομαγνητοφώνηση βίντεο

Όπως έχουμε μάθει, δύο ημιευθείες με κοινή αρχή φτιάχνουν μία γωνία. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε μία ημιευθεία και άλλη μία ημιευθεία κάπως έτσι και φτιάχνουμε αυτή τη γωνία. Η κοινή αρχή των δύο ημιευθειών όπως έχουμε πει λέγεται κορυφή της γωνίας. Ξέρουμε επίσης ότι δεν είναι όλες οι γωνίες ίδιες. Για παράδειγμα ας πούμε ότι έχουμε αυτή τη γωνία ή αυτή τη γωνία, ή αυτή τη γωνία, ή αυτή τη γωνία, ή αυτή τη γωνία, και όπως βλέπουμε, αυτή η γωνία εδώ είναι πολύ πιο ανοιχτή από αυτή τη γωνία. Πιο ανοιχτή λοιπόν Πιο ανοιχτή λοιπόν και πιο κλειστή. Επειδή φυσικά δεν βολεύει να λέμε πιο ανοιχτή και πιο κλειστή και για να είμαστε και ακριβείς πιο ανοιχτή και πιο κλειστή και για να είμαστε και ακριβείς μάθαμε να βρίσκουμε πόσο ανοιχτή ή πόσο κλειστή είναι μία γωνία μάθαμε να βρίσκουμε πόσο ανοιχτή ή πόσο κλειστή είναι μία γωνία βρίσκοντας το μέτρο της γωνίες. Μάθαμε λοιπόν να μετράμε τις γωνίες Μάθαμε λοιπόν να μετράμε τις γωνίες και ειδικότερα μάθαμε να τις μετράμε σε μοίρες. Είχαμε πει όμως, ότι αργότερα στα σχολικά μας χρόνια όταν θα κάνουμε τριγωνομετρία θα μάθουμε να μετράμε τις γωνίες και σε ακτίνια. θα μάθουμε να μετράμε τις γωνίες και σε ακτίνια. Η μέτρηση των γωνιών σε μοίρες γίνεται με τη βοήθεια ενός κύκλου. Φτιάχνουμε λοιπόν έναν κύκλο, Φτιάχνουμε λοιπόν έναν κύκλο, και εδώ τώρα έχουμε κάνει μία σύμβαση. Έχουμε συμφωνήσει παντού στον κόσμο Έχουμε συμφωνήσει παντού στον κόσμο ότι ένας πλήρης κύκλος είναι μία 360 μοίρες γωνία. Για να το δούμε καλύτερα. Ας πούμε λοιπόν ότι εδώ είναι το κέντρο του κύκλου η μία πλευρά της γωνίας έτσι, η μία πλευρά της γωνίας έτσι, και αν η άλλη πλευρά περιστραφεί γύρω γύρω, και κάνει μία πλήρη περιστροφή μία τέτοια γωνία όπως είπαμε είναι ίση με 360 μοίρες. 360 με ένα άνω κυκλάκι όπως έχουμε πει ότι συμβολίζουμε τις μοίρες. Από που προέκυψε όμως ο αριθμός 360; Από που προέκυψε όμως ο αριθμός 360; Δεν μπορούμε να απαντήσουμε με σιγουριά, αλλά ίσως υπάρχει κάποια σχέση με την κίνηση της γης αλλά ίσως υπάρχει κάποια σχέση με την κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο. Όπως ξέρετε μία πλήρη περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο διαρκεί 365 μέρες ή 366, αν το έτος είναι δίσεκτο, και αυτό που πιστεύουμε είναι ότι οι αρχαίοι αστρονόμοι στρογγυλοποίησαν τον αριθμό στο 360. στρογγυλοποίησαν τον αριθμό στο 360. στρογγυλοποίησαν τον αριθμό στο 360. Μάλιστα, το ημερολόγιο που είχαν Μάλιστα, το ημερολόγιο που είχαν οι Πέρσες αλλά και οι Μάγιας στην Λατινική Αμερική είχε 360 μέρες το χρόνο. Το 360 μάλιστα είναι και πιο καλός αριθμός από το 365 αφού έχει πάρα πολλούς διαιρέτες. Διαιρείται δηλαδή με πάρα πολλούς αριθμούς. Διαιρείται δηλαδή με πάρα πολλούς αριθμούς. Ιστορικά λοιπόν έχουμε κάνει μία σύμβαση Ιστορικά λοιπόν έχουμε κάνει μία σύμβαση και θεωρούμε ότι ένας πλήρης κύκλος είναι μία γωνία ίση με 360 μοίρες. Για να μετρήσουμε λοιπόν μία γωνία βάζουμε την μία πλευρά της γωνίας εδώ και έστω ότι η άλλη πλευρά της γωνίας πάει μέχρι εδώ. και έστω ότι η άλλη πλευρά της γωνίας πάει μέχρι εδώ. Και αφού αυτό εδώ είναι ένα τμήμα του κύκλου Και αφού αυτό εδώ είναι ένα τμήμα του κύκλου που φτιάχτηκε από αυτές τις δύο ημιευθείες, τότε το μέτρο της γωνίας θα είναι επίσης ένα μέρος από μία πλήρη περιστροφή που είναι ίση με 360 μοίρες. Για παράδειγμα. Αν αυτό είναι τελικά περίπου ίσο με το 1/6 του κύκλου Αν αυτό είναι τελικά περίπου ίσο με το 1/6 του κύκλου τότε και αυτή γωνία εδώ θα είναι ίση με το 1/6 των 360 μοιρών που είναι ίσο με 60 μοίρες. που είναι ίσο με 60 μοίρες. Θα κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε έναν κύκλο και μία γωνία. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε έναν κύκλο και μία γωνία. Βάζουμε την κορυφή της γωνίας στο κέντρο του κύκλου και τη μία πλευρά της γωνίας εδώ. Αν η άλλη πλευρά είναι επίσης εδώ είναι 0 μοίρες. Αν η άλλη πλευρά είναι επίσης εδώ είναι 0 μοίρες. Εμείς όμως θα βάλουμε την άλλη πλευρά ευθεία προς τα πάνω Εμείς όμως θα βάλουμε την άλλη πλευρά ευθεία προς τα πάνω κάπως έτσι. κάπως έτσι. κάπως έτσι. Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν Με αυτόν τον τρόπο λοιπόν από αυτά τα δύο σημεία του κύκλου, φτιάχνεται ένα τόξο που είναι ίσο με το 1/4 του κύκλου. Το βλέπουμε, φαίνεται, ότι αυτό το τμήμα εδώ είναι ίσο με το 1/4 της περιφέρειας του κύκλου είναι ίσο με το 1/4 της περιφέρειας του κύκλου άρα και η γωνία αυτή εδώ, θα είναι ίση με το 1/4 των 360 μοιρών, 360 διά 4 που είναι ίσο με 90 μοίρες και να πως δείξαμε πάλι, ότι αν έχουμε μία γωνία με τη μία πλευρά κατακόρυφη και την άλλη πλευρά οριζόντια δεξιά ή αριστερά τότε οι δύο πλευρές αυτές είναι κάθετες μεταξύ τους τότε οι δύο πλευρές αυτές είναι κάθετες μεταξύ τους και η γωνία αυτή λέγεται ορθή γωνία. Επίσης έχουμε δείξει πολλές φορές ότι την ορθή γωνία τη σημειώνουμε με αυτό το κουτάκι εδώ. 90 μοίρες λοιπόν γωνία. Ας κάνουμε ένα δύο παραδείγματα ακόμα. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε μία γωνία κάπως έτσι. Η κορυφή της γωνίας είναι στο κέντρο του κύκλου η μία πλευρά της γωνίας είναι εδώ και ας πούμε ότι η άλλη πλευρά είναι εδώ. Κάντε μία παύση στο βίντεο και δείτε αν μπορείτε να βρείτε μόνοι σας, το μέτρο αυτής της γωνίας. Σε ποια σημεία τέμνουν οι ημιευθείες τον κύκλο; Εδώ και εδώ. Άρα το τόξο που σχηματίζεται από αυτά τα δύο σημεία είναι αυτό εδώ όπου είναι το μισό της περιφέρειας του κύκλου. Είναι μισός κύκλος. Είναι μισός κύκλος. Επομένως η γωνία είναι ίση με το μισό των 360 μοιρών 360 διά 2 που είναι ίσο με 180 μοίρες. Μία τέτοια γωνία που οι πλευρές της βρίσκονται στην ίδια ευθεία λέγεται ευθεία γωνία. Μία τέτοια γωνία που οι πλευρές της βρίσκονται στην ίδια ευθεία λέγεται ευθεία γωνία. Μία τέτοια γωνία που οι πλευρές της βρίσκονται στην ίδια ευθεία λέγεται ευθεία γωνία. Ας κάνουμε έναν κύκλο ακόμα και πάμε να φτιάξουμε μία γωνία. Ας πούμε λοιπόν ότι αυτή εδώ είναι η μία πλευρά της γωνίας και αυτή εδώ είναι η άλλη πλευρά. Εδώ τώρα φαίνεται να έχουμε φτιάξει δύο γωνίες. Εδώ τώρα φαίνεται να έχουμε φτιάξει δύο γωνίες. Η μία γωνία είναι αυτή εδώ που νομίζω ότι μπορείτε να δείτε εύκολα ότι είναι ίση με 90 μοίρες. Και η άλλη γωνία αυτή εδώ που είναι κι η γωνία που θέλω να δούμε σε αυτό το παράδειγμα. Για να δούμε λοιπόν. Που τέμνουν οι πλευρές της γωνίας τον κύκλο; Αυτό εδώ είναι το τόξο που φτιάνεται από τη γωνία που θέλουμε Αυτό εδώ είναι το τόξο που φτιάνεται από τη γωνία που θέλουμε και φαίνεται να είναι ίσο με τα 3/4 του κύκλου. Επομένως η γωνία αυτή είναι ίση με τα 3/4 των 360 μοιρών Επομένως η γωνία αυτή είναι ίση με τα 3/4 των 360 μοιρών και αφού το 1/4 των 360 είναι 90 τότε τα 3/4 των 360, είναι ίσο με 3 επί 90 που κάνει 270 μοίρες.