Εάν βλέπετε αυτό το μήνυμα, αυτό σημαίνει ότι έχουμε πρόβλημα φόρτωσης εξωτερικών πόρων στην Khan Ακαδημία.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Κύριο περιεχόμενο

Εκφράσεις, εξισώσεις, & ανίσώσεις

Συχνές ερωτήσεις σχετικά με εκφράσεις, εξισώσεις και ανισώσεις

Πώς συλλέγουμε τους όμοιους όρους με ακέραιους συντελεστές;

Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρίσθεσης μας λέει ότι μπορούμε να αναδιατάξουμε τη σειρά των όρων που προσθέτουμε μαζί χωρίς να αλλάξουμε το άθροισμα. Αυτό είναι πραγματικά χρήσιμο όταν θέλουμε να συνδυάσουμε όμοιους όρους σε μια αλγεβρική έκφραση που έχει επίσης μη όμοιους όρους.
Για παράδειγμα, ας δούμε αυτή την έκφραση:
3x+2y5x6y
Ευτυχώς, μπορούμε να ξαναγράψουμε οποιαδήποτε αφαίρεση ως πρόσθεση ενός αρνητικού αριθμού. Έτσι, 3x+2y5x6y είναι το ίδιο με 3x+2y+(5x)+(6y), και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. Αυτό μας επιτρέπει να αναδιατάξουμε τους όρους έτσι ώστε οι όμοιοι όροι να είναι κοντά ο ένας στον άλλο:
3x5x+2y6y
Τώρα μπορούμε να συνδυάσουμε τους δύο όρους του x με τους δύο όρους του y .
2x4y
Και έχουμε απλοποιήσει την έκφραση!

Πώς λειτουργεί η επιμεριστική ιδιότητα με μεταβλητές;

Η επιμεριστική ιδιότητα λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο με τους αρνητικούς αριθμούς και τις μεταβλητές όπως και με τους θετικούς αριθμούς. Μας επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε έναν παράγοντα με ένα σύνολο όρων σε παρένθεση.
Όταν πρόκειται για τη σειρά των πράξεων , η επιμεριστική ισοότητα μπορεί να είναι πραγματικά χρήσιμη. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε την ακόλουθη έκφραση: 23(x+4). Ακολουθώντας την παραδοσιακή σειρά των πράξεων, θα κολλούσαμε , επειδή δεν μπορούμε να προσθέσουμε x+4 μέχρι να γνωρίζουμε την αξία του x. Η επιμεριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παράγοντα 3 με κάθε όρο μέσα στις παρενθέσεις.
23(x+4)=2+(3)(x+4)=2+(3)(x)+(3)(4)=23x12
Παρατήρησε ότι έπρεπε να επιμερίσουμε το 3, όχι μόνο 3. Τώρα είμαστε έτοιμοι να μαζέψουμε τους όρους.
23x12=3x10
Έτσι, η επιμεριστική ιδιότητα μας επέτρεψε να απλοποιήσουμε την έκφραση παρά τη μεταβλητή μέσα στις παρενθέσεις.

Πώς τα μέρη μιας γραμμικής έκφρασης σχετίζονται με το περιεχόμενο που εκφράζει;

Μια γραμμική έκφραση είναι χτισμένη από τα τρία κύρια μέρη: τη μεταβλητή, τον συντελεστή και τη σταθερά. Όταν χρησιμοποιούμε μια γραμμική έκφραση για να εκπροσωπούμε μια πραγματική κατάσταση, κάθε μέρος της έκφρασης έχει διαφορετικό νόημα.
Η μεταβλητή είναι το μέρος της έκφρασης που μπορεί να αλλάξει. Για παράδειγμα, στην έκφραση 192x, η μεταβλητή είναι το x. Σε μια πραγματική κατάσταση, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την έκφραση για να εκφράσουμε το συνολικό μήκος, σε εκατοστά, ενός μολυβιού αφού το ξύσει για x λεπτά αν το μολύβι είναι αρχικά 19 εκατοστά και ο αυτός που το ξύνει κοντένει το μολύβι κατά 2 εκατοστά ανά λεπτό.
Ο συντελεστής είναι ο αριθμός μπροστά από τη μεταβλητή. Στην έκφραση 192x ο συντελεστής είναι 2. Στο παράδειγμα σχετικά με το ξύσιμο μολυβιών, αυτό μας λέει ότι κάθε λεπτό κάνει το μολύβι 2 εκατοστά πιο κοντό.
Η σταθερά είναι ο αριθμός που δεν αλλάζει, ανεξάρτητα από το ποια είναι η μεταβλητή. Στην έκφραση 192x, η σταθερά είναι 19. Στο παράδειγμα για το ξύσιμο των μολυβιών, η σταθερά είναι το αρχικό μήκος του μολυβιού, τα 19 εκατοστά .
Έτσι, όταν χρησιμοποιούμε μια γραμμική έκφραση για να εκφράσουμε μια πραγματική κατάσταση, είναι σημαντικό να δοθεί προσοχή στα διάφορα μέρη της έκφρασης και τι σημαίνουν σε αυτό το περιεχόμενο.
Δοκιμάστε το μόνοι σας με την άσκηση ερμηνεύοντας γραμμικές εκφράσεις.

Πώς θα λύσουμε εξισώσεις δύο σταδίων;

Μια εξίσωση δύο βημάτων είναι μια εξίσωση με μια μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης και 2 πράεις. Σε γενικές γραμμές, επιλύουμε μια εξίσωση δουλεύοντας προς τα πίσω, αναιρώντας τις πράξεις που έχουν γίνει στη μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση, αναιρούμε τις πράξεις στην αντίθετη σειρά από τη σειρά των πράξεων.
Για παράδειγμα, για να λύσουμε 8=0,75b1, ας σκεφτούμε τη σειρά των πράξεων που θα ακολουθήσουμε για να υπολογίσουμε το 0,75b1.
  1. Πολλαπλασιάστε 0,75 επί την τιμή του b.
  2. Αφαιρούμε 1.
Για να λύσουμε την εξίσωση, αντιστρέφουμε αυτή τη διαδικασία.
  1. Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.
  2. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 0,75.
Ας το δοκιμάσουμε.
8=0,75b18+1=0,75b1+19=0,75b90,75=0,75b0,7512=b
Τι θα κάναμε αν η εξίσωση περιελάμβανε παρενθέσεις; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση 57(w+11)=5. Εδώ είναι τα βήματα που θα κάνουμε για να υπολογίσουμε το 57(w+11).
  1. Προσθέστε το w και το 11 επειδή βρίσκονται μέσα σε παρένθεση.
  2. Πολλαπλασιάστε επί 57.
Για να λύσουμε την εξίσωση, αντιστρέφουμε αυτή τη διαδικασία.
  1. Διαιρέστε με 57 και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (που είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό με 75).
  2. Αφαιρούμε 11.
Ας το δοκιμάσουμε.
57(w+11)=57557(w+11)=755w+11=7w+1111=711w=4
Φυσικά, τα μαθηματικά είναι ευέλικτα και όμορφα. Χρησιμοποιώντας την σειρά των πράξεων είναι μόνο ένας από τους πολλούς τρόπους επίλυσης. Θα μπορούσαμε επίσης να έχουμε εφαρμόσει την επιμεριστική ιδιότητα στο 57(w+11), στη συνέχεια να επιλύσουμε την εξίσωση χωρίς παρένθεση.
Δοκιμάστε μόνοι σας την άσκηση εξισώσεων δύο βημάτων.

Πώς λύνουμε τις ανισώσεις;

Λύνουμε ανισώσεις με τον ίδιο τρόπο που επιλύουμε εξισώσεις δύο σταδίων, μόνο που πρέπει να θυμόμαστε έναν κανόνα: αν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τις δύο πλευρές με αρνητικό αριθμό, πρέπει να αντιστρέψουμε την φορά της ανίσωσης.
Ας δούμε γιατί αυτό έχει νόημα. Γνωρίζουμε ότι 5<8. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 1. Είναι το 5 λιγότερο από 8; Όχι! 5>8 επειδή το 5 είναι πιο μακριά προς τα δεξιά σε μια αριθμογραμμή. Έτσι, όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε με αρνητικό αριθμό, αλλάζουμε τις κατευθύνσεις των τιμών στην αριθμογραμμή.
Για παράδειγμα, για να λύσουμε το 2x+1>7, πρώτα αφαιρούμε 1 και από τις δυο πλευρές και μετά διαιρούμε και τις δυο πλευρές με 2, το οποίο σημαίνει ότι πρέπει να αντιστρέψουμε την φορά της ανίσωσης. Η λύση είναι x<3.
Δοκιμάστε μόνοι σας την άσκηση εξισώσεων δύο βημάτων.

Θέλετε να συμμετάσχετε σε μια συζήτηση;

Δεν υπάρχουν αναρτήσεις ακόμα.
Μπορείς να διαβάσεις στα Αγγλικά; Κάνε κλικ εδώ για να δείτε περισσότερες συζητήσεις που συμβαίνουν στην αγγλική ιστοσελίδα της Khan Academy.