Αριθμητική με ρητούς αριθμούς ΣΥΧΝΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δεκαδικούς, πρέπει να ευθυγραμμίσουμε τις υποδιαστολές για να βεβαιωθούμε ότι προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις ίδιες τιμές θέσης. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να προσθέσουμε το $3,4$‍ και το $0,52$‍, πρέπει να το γράψουμε έτσι:

Παρατηρήστε πώς η υποδιαστολή βρίσκεται στην ίδια στήλη και για τους δύο αριθμούς. Αυτό μας βοηθά να δούμε ότι προσθέτουμε $4$‍ δέκατα στα $5$‍ δέκατα , και $3$‍ μονάδες σε $0$‍ μονάδες . Αν δεν ευθυγραμμίσουμε την υποδιαστολή , μπορεί να μπερδευτούμε και να προσθέσουμε λάθος ψηφία. Για παράδειγμα, αν τα γράψουμε έτσι:

Μπορεί να πιστεύουμε ότι προσθέτουμε $4$‍ δέκατα στο $2$‍ δέκατα, και $3$‍ μονάδες στις $5$‍ μονάδες, κάτι που θα μας έδινε τη λάθος απάντηση $8,6$‍. Έτσι, η ευθυγράμμιση των δεκαδικών ψηφίων μας βοηθά να αποφύγουμε λάθη και να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε σωστά τα δεκαδικά.

Μερικές φορές, όταν διαιρούμε ολόκληρους αριθμούς, έχουμε ένα υπόλοιπο που δεν είναι μηδέν. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε $7$‍ με το $2$‍, παίρνουμε $3$‍ ως πηλίκο και $1$‍ ως υπόλοιπο. Το γράφουμε έτσι:

$7÷2=3$‍ υπόλοιπο $1$‍

Αλλά τι θα γίνει αν θέλουμε να γνωρίζουμε την ακριβή απάντηση, χωρίς υπόλοιπο; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δεκαδικούς για να δείξουμε το τμήμα του διαιρετέου που απομένει μετά τη διαίρεση με τον διαιρέτη. Το κάνουμε αυτό προσθέτοντας μια υποδιαστολή και ένα μηδέν στο διαιρετέο, και συνεχίζοντας να διαιρούμε την αξία θέσης. Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε το $7$‍ ως $7,0$‍ έτσι:

Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε το $1,0$‍ με το $2$‍ και να λάβουμε $0,5$‍ (σκεφτείτε ότι τα $10$‍ δέκατα διαιρεμένα με $2$‍ είναι $5$‍ δέκατα). Συνολικά λοιπόν, πήραμε ένα πηλίκο $3+0,5$‍, που ισούται με $3,5$‍. Το γράφουμε ως εξής:

Μπορούμε να το κάνουμε αυτό με οποιαδήποτε διαίρεση ολόκληρου αριθμού που έχει υπόλοιπο.Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε $9$‍ με $4$‍, παίρνουμε $2$‍ ως πηλίκο και $1$‍ ως υπόλοιπο. Το γράφουμε έτσι:

$9÷4=2$‍ υπόλοιπο $1$‍

Για να λάβουμε την ακριβή απάντηση, προσθέτουμε μια υποδιαστολή και δύο μηδενικά στο διαιρετέο. Το γράφουμε έτσι:

Τώρα μπορούμε να διαιρέσουμε το $1,0$‍ με το $4$‍ και να λάβουμε $0,25$‍ (σκεφτείτε ότι τα $100$‍ εκατοστά διαιρεμένα με $4$‍ είναι $25$‍ εκατοστά). Συνολικά λοιπόν, πήραμε ένα πηλίκο $2+0,25$‍, που ισούται με $2,25$‍. Το γράφουμε ως εξής:

Για να διαιρέσουμε δεκαδικα με δεκαδικά ψηφία, πρέπει πρώτα να κάνουμε τον διαιρέτη έναν ολόκληρο αριθμό. Αυτό το κάνουμε μετακινώντας την υποδιαστολή τόσο στον διαιρέτη όσο και στο διαιρετέο αριθμό τόσες φορές προς τα δεξιά, έως ότου ο διαιρέτης δεν έχει πια δεκαδικό ψηφίο. Αυτό λειτουργεί επειδή δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να διαιρέσουμε το $3,6$‍ με το $0,4$‍, μετακινούμε το δεκαδικό σημείο μία φορά στα δεξιά και στους δύο αριθμούς, και παίρνουμε $36÷4$‍. Το γράφουμε έτσι:

Στη συνέχεια, μπορούμε να διαιρέσουμε ως συνήθως και να λάβουμε $9$‍ ως απάντηση. Το γράφουμε ως εξής:

Ένα άλλο παράδειγμα είναι $0,18÷0,06$‍. Μετακινούμε το δεκαδικό σημείο δύο φορές πρός τα δεξιά και παίρνουμε $18÷6$‍. Το γράφουμε έτσι:

Στη συνέχεια, μπορούμε να διαιρέσουμε ως συνήθως και να λάβουμε $3$‍ ως απάντηση. Το γράφουμε ως εξής:

Το αντίστροφο ενός αριθμού απαντά στην ερώτηση, "Πόσες ομάδες αυτού του αριθμού υπάρχουν στο 1;"

Ας ξεκινήσουμε με μερικούς βασικούς αριθμούς. Πόσες ομάδες ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ υπάρχουν στο $1$‍; Υπάρχουν $3$‍ ομάδες ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ στο $1$‍, οπότε $3$‍ (ή ${\displaystyle \frac{3}{1}}$‍) είναι το αντίστροφο του ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Πόσες ομάδες του $3$‍ υπάρχουν στο $1$‍; Δεν υπάρχουν ολόκληρες ομάδες του $3$‍ στο $1$‍, αλλά υπάρχει μια μερική ομάδα του $3$‍ στο $1$‍. Συγκεκριμένα, υπάρχει ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ μιας ομάδας του $3$‍ στον αριθμό $1$‍.

Εδώ είναι μερικοί από τους τρόπους με τους οποίους σχετίζεται αυτό το ζευγάρι των αντίστροφων αξιών.

Αυτό το μοτίβο ισχύει για όλα τα ζεύγη αντίστροφων αριθμών. Το γινόμενον τους είναι πάντα $1$‍.

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτό το γεγονός για να βρούμε το αντίστροφο του ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍.

Έτσι, το αντίστροφο του ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍ είναι ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ και αντίστροφα.

Παρατηρήσατε ένα μοτίβο; Αν γράψουμε έναν αριθμό σε μορφή κλάσματος, τότε η αντιστροφότητά του είναι ένα κλάσμα με τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντιστρεφόμενους.

Συχνά σκεφτόμαστε ότι η διαίρεση μας λέει πόσες ομάδες ίσου μεγέθους μπορούμε να κάνουμε από το σύνολο.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το $5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍.

Το αντίστροφο ενός αριθμού απαντά στην ερώτηση, "Πόσες ομάδες αυτού του αριθμού υπάρχουν στο 1;" Έτσι, η τιμή του $1÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍ θα είναι η αντίστροφη τιμή του ${\displaystyle \frac{2}{3}}$‍, το οποίο είναι ${\displaystyle \frac{3}{2}}$‍.

Αντίθετα, θέλουμε να μάθουμε το $5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍, που είναι $5$‍ φορές περισσότερο. Επομένως, το πηλίκο θα είναι επίσης $5$‍ φορές μεγαλύτερο από το $1÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍.

Έτσι, το $5\times {\displaystyle \frac{3}{2}}$‍ έχει την ίδια τιμή με το $5÷{\displaystyle \frac{2}{3}}$‍.

Υπάρχουν πολλές καταστάσεις στην πραγματική ζωή όπου μπορεί να χρειαστεί να εκτελέσουμε πράξεις σε κλάσματα και δεκαδικά. Για παράδειγμα, όταν μαγειρεύουμε, ίσως χρειαστεί να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τα κλάσματα κατά τη μέτρηση των συστατικών. Αν μια συνταγή καλέσει για ${\displaystyle \frac{3}{4}}$‍ από ένα φλιτζάνι αλεύρι, αλλά έχουμε μόνο ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ φλιτζάνι, Θα πρέπει να διαιρέσουμε ${\displaystyle \frac{3}{4}}÷{\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ για να βρούμε πόσες φορές να συμπληρώσουμε το μέτρο για να λάβουμε το σωστό ποσό.

Αντιμετωπίζουμε επίσης δεκαδικά ψηφία όταν έχουμε να κάνουμε με χρήματα. Ίσως χρειαστεί να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ποσά για να υπολογίσουμε ένα συνολικό λογαριασμό ή να κάνουμε αλλαγή (τα ρέστα). Για παράδειγμα, αν αγοράσουμε δύο αντικείμενα που κοστίζουν $\mathrm{\$}2,59$‍ και $\mathrm{\$}3,99$‍, πρέπει να προσθέσουμε $2,59+3,99$‍ για να πάρουμε συνολικά $\mathrm{\$}6,58$‍.

Υπάρχουν αναρίθμητες άλλες καταστάσεις όπου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κλάσματα ή δεκαδικά στην καθημερινή ζωή - όταν κόβουμε τα πράγματα σε μερίδες, υπολογισμός ποσοστών, ή την αντιμετώπιση μετρήσεων, για να αναφέρουμε μόνο μερικά απο αυτά.