Έννοια του αντίστροφου

Πάμε να μιλήσουμε λίγο για αντίστροφους αριθμούς. Για τον αντίστροφο λοιπόν έχουμε μάθει λίγο απέξω ότι στην ουσία αρκεί να πάρουμε ένα κλάσμα και να αλλάξουμε τον αριθμητή με τον παρανομαστή. Για παράδειγμα ο αντίστροφος του 2/3 αλλάζουμε τον αριθμητή με τον παρανομαστή και παίρνουμε το 3/2. Το 5/6 ο αντίστροφός του είναι το 6/5 κ.ο.κ. Πάμε τώρα όμως να δούμε τι πραγματικά σημαίνει αντίστροφος ενός αριθμού. Αλγεβρικά όπως έχουμε ήδη πει αντίστροφοι λέγονται οι αριθμοί που το γινόμενό τους είναι ίσο με 1. που το γινόμενό τους είναι ίσο με 1. 2/3 επί 3/2 κάνει 1 το ίδιο και το 5/6 επί το 6/5. Τώρα ένας άλλος τρόπος που θα μπορούσαμε να σκεφτούμε για τους αντίστροφους είναι να δούμε πόσες φορές χωράει το ένα κλάσμα στη μονάδα. Αν πάρουμε για παράδειγμα το 1 και το διαιρέσω με το 2/3 στην ουσία ψάχνουμε να δούμε πόσες φορές χωράει το 2/3 στο 1. Το ίδιο και το 5/6 1 διά 5/6 πόσα 5/6 χωράνε στο ένα. 1 διά 5/6 πόσα 5/6 χωράνε στο ένα. Και φυσικά η απάντηση στο πρώτο είναι 3/2 αφού 2/3 επί 3/2 κάνει ένα και πάμε να το επαληθεύσουμε. Αρχικά θα το δούμε με ένα πιο απλό παράδειγμα Αρχικά θα το δούμε με ένα πιο απλό παράδειγμα Αρχικά θα το δούμε με ένα πιο απλό παράδειγμα και ας πούμε ότι έχουμε το 1/2 και ας πούμε ότι έχουμε το 1/2 που παριστάνεται από αυτό εδώ το μέρος σε αυτό το ορθογώνιο. Αν λοιπόν μας ρωτούσε κάποιος πόσα τέτοια μισά χωράνε στη μονάδα πόσα 1/2 χωράνε στο 1 μα φυσικά από αυτό το ορθογώνιο φαίνεται καθαρά ότι χωράνε δύο. 1/2 και άλλο 1/2 1/2 και άλλο 1/2 άρα δυο φορές το 1/2 κάνει 1. Και εδώ τώρα μπορεί να μη φαίνεται καθαρά η αντιστροφή στο κλάσμα που έχουμε κάνει αλλά το 2 στην ουσία είναι το κλάσμα 2/1 αλλά το 2 στην ουσία είναι το κλάσμα 2/1 αλλά το 2 στην ουσία είναι το κλάσμα 2/1 που φαίνεται καθαρά ότι είναι ο αντίστροφος του 1/2. που φαίνεται καθαρά ότι είναι ο αντίστροφος του 1/2. που φαίνεται καθαρά ότι είναι ο αντίστροφος του 1/2. που φαίνεται καθαρά ότι είναι ο αντίστροφος του 1/2. Πάμε τώρα να δούμε ξανά το 2/3 που είχαμε που είναι λίγο πιο σύνθετο. Τα 2/3 λοιπόν είναι αυτό το τμήμα εδώ. 1/3 και άλλο 1/3 2/3. 1/3 και άλλο 1/3 2/3. Πόσα τέτοια λοιπόν σκιασμένα μέρη χωράνε στη μονάδα; Στην ουσία ψάχνουμε να βρούμε πόσο κάνει 1 διά 2/3. και βλέπουμε καθαρά ότι το 2/3 χωράει μία φορά και περισσεύει και 1/3 ακόμα που είναι το μισό του 2/3. που είναι το μισό του 2/3. Ένα ολόκληρο 2/3 λοιπόν και ένα μισό του 2/3 ή αλλιώς ένα και μισό. Άρα 1 διά 2/3 είναι ίσο με ένα και μισό που φυσικά το ένα και μισό είναι ίσο με 3/2. 3/2 λοιπόν επί 2/3 κάνει 1 3/2 λοιπόν επί 2/3 κάνει 1 ή το 2/3 χωράει 3/2 φορές στο 1. Ας το δούμε τώρα και ανάποδα με το 3/2. Ας το δούμε τώρα και ανάποδα με το 3/2. Πόσες φορές χωράει το 3/2 στο ολόκληρο; Το 3/2 είναι ίσο με ένα μισό δύο μισά τρία μισά άρα όλο αυτό είναι το 3/2 άρα όλο αυτό είναι το 3/2 άρα όλο αυτό είναι το 3/2 και πόσες φορές λοιπόν, χωράει αυτό στο ολόκληρο; και πόσες φορές λοιπόν, χωράει αυτό στο ολόκληρο; και πόσες φορές λοιπόν, χωράει αυτό στο ολόκληρο; Μα φυσικά βλέπουμε ότι το 3/2 δεν χωράει στο ολόκληρο αλλά χωράνε μόνο 2 από τα 3 μισά του 3/2 ένα, δύο, ένα, δύο, δύο από τα τρία ίσα μέρη του 3/2 δύο από τα τρία ίσα μέρη του 3/2 άρα 2/3. Επομένως πόσες φορές χωράει το 3/2 στο 1; 2/3 φορές ή αλλιώς το 3/2 είναι τα 2/3 του 1 που είναι και ένας άλλος τρόπος για να δούμε καλύτερα ότι αυτοί οι δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι.