Μέση απόλυτη απόκλιση (ΜΑΑ)

Ας πούμε ότι έχουμε δύο σειρές παρατηρήσεων όπου στη μία σειρά έχουμε ένα δυάρι, άλλο ένα 2, ένα 4 και άλλο ένα 4. Και στο δεύτερο δείγμα έχουμε 1, 1, 6 και 4. Και θέλουμε να βρούμε ένα μέτρο κεντρικής τάσης για κάθε δείγμα. Ένα βασικό μέτρο θέσης που γνωρίζουμε είναι η μέση τιμή επομένως πάμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή σε κάθε μία σειρά παρατηρήσεων. Για να βρούμε τη μέση τιμή αρκεί να προσθέσουμε όλες τις παρατηρήσεις διά το πλήθος των παρατηρήσεων. Άρα στο πρώτο δείγμα έχουμε 2 και 2 και 4 και 4 διά το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι 4. Έχουμε τέσσερις αριθμούς άρα το πλήθος των παρατηρήσεών είναι τέσσερα. 2 και 2, 4 και 4, 8 και 4, 12 διά 4 τρία τρία άρα η μέση τιμή εδώ είναι 3 και πάμε να το δούμε και σε ένα σημειόγραμμα. Ας πούμε λοιπόν ότι εδώ είναι το 0, 1, 2, 3, 4 και 5, και έχουμε δύο δυάρια. Για κάθε δυάρι βάζουμε μία τελεία και έχουμε και δύο τεσσάρια άρα ένα, δύο σημεία. Βρήκαμε επίσης ότι η μέση τιμή είναι 3 άρα αυτή εδώ είναι η μέση τιμή. άρα αυτή εδώ είναι η μέση τιμή. άρα αυτή εδώ είναι η μέση τιμή. Οπτικοποιήσαμε λοιπόν τα δεδομένα μας και πάμε να κάνουμε το ίδιο και στο δεύτερο δείγμα στην άλλη σειρά παρατηρήσεων. Για να βρούμε τη μέση τιμή λοιπόν προσθέτουμε 1 συν 1, συν 6 συν 4 και διαιρούμε με το 4 που είναι το πλήθος των παρατηρήσεων. 1 και 1, 2, και 6, 8 και 4, 12 διά 4 τρία. Επομένως η μέση τιμή και εδώ, είναι πάλι 3. Παρατηρήστε τώρα ότι ενώ έχουμε διαφορετικούς αριθμούς έχουμε την ίδια μέση τιμή. Πάμε να το δούμε πάλι σε ένα σημειόγραμμα. Φτιάχνουμε έναν άξονα και βάζουμε φυσικούς αριθμούς πάλι μέχρι το 6. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και ας βάλουμε και το 7. Έχουμε λοιπόν δύο φορές το 1 άρα βάζουμε δύο σημεία ένα 6 και ένα 4. Και βρήκαμε επίσης ότι η μέση τιμή είναι 3. Και βρήκαμε επίσης ότι η μέση τιμή είναι 3. Και βρήκαμε επίσης ότι η μέση τιμή είναι 3. Δείτε τώρα ότι αν και τα δύο δείγματα έχουν την ίδια μέση τιμή Δείτε τώρα ότι αν και τα δύο δείγματα έχουν την ίδια μέση τιμή έχουν διαφορετικές τιμές. Και πως διαφοροποιούνται αυτά τα δύο δείγματα; Έχουμε δει σε προηγούμενα βίντεο για το πως διασπείρονται οι τιμές γύρω από τη μέση τιμή και δείτε ότι στο δεύτερο δείγμα έχουν μεγαλύτερη διασπορά δηλαδή οι τιμές, είναι πιο απλωμένες γύρω από τη μέση τιμή ενώ αντίθετα εδώ, οι τιμές είναι πιο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή. Αυτό λοιπόν ακριβώς αποτελεί και μία βασική στατιστική παρατήρηση που δείχνει ότι εκτός από τα μέτρα θέσης είναι σημαντικό σε ένα δείγμα παρατηρήσεων να γνωρίζουμε και πως διασπείρονται, πως απλώνονται δηλαδή οι τιμές γύρω από τη μέση τιμή. Αυτό ακριβώς μας δείχνουν τα μέτρα διασποράς. Ξέρω ότι μπορεί να ακούγεται λίγο σύνθετη σκέψη αλλά πάμε να το καταλάβουμε καλύτερα. Αυτό που ψάχνουμε να βρούμε στην ουσία είναι ένας μέσος όρος απόστασης των τιμών από τη μέση τιμή και θα το δούμε αυτό, υπολογίζοντας ένα μέτρο διασποράς που λέγεται Μέση Απόλυτη Απόκλιση. Και στην ουσία αυτό που θέλουμε να βρούμε είναι ο μέσος όρος των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή. είναι ο μέσος όρος των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή. Για παράδειγμα κάθε ένα δυάρι από αυτά τα δύο απέχει απόσταση 1 μονάδα από τη μέση τιμή που είναι 3. Δεν μας ενδιαφέρει αν είναι μικρότερη η μεγαλύτερη τιμή από τη μέση τιμή. Εμάς μας ενδιαφέρει η απόκλιση, δηλαδή η απόσταση του αριθμού από τη μέση τιμή. Έτσι λοιπόν στο πρώτο δείγμα η μέση τιμή είναι 3 Έτσι λοιπόν στο πρώτο δείγμα και θέλουμε να βρούμε την απόσταση κάθε τιμής από τη μέση τιμή. Και πως το βρίσκουμε αυτό; Και πως το βρίσκουμε αυτό; Για να βρούμε την απόσταση που έχει το 2 από το 3 Για να βρούμε την απόσταση που έχει το 2 από το 3 βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς 2 μείον 3. Αυτή λοιπόν εδώ είναι η απόσταση που έχει το 2 από το 3. Έχουμε άλλο ένα δυάρι άρα η απόσταση από το 3 είναι επίσης απόλυτη τιμή του 2 μείον 3. Μετά έχουμε ένα 4 και η απόσταση του από το 3 δίνεται από την απόλυτη τιμή του 4 μείον 3 δίνεται από την απόλυτη τιμή του 4 μείον 3 δίνεται από την απόλυτη τιμή του 4 μείον 3 και έχουμε άλλο ένα 4 άρα συν λοιπόν άλλη μία φορά απόλυτο 4 μείον 3. Τέλος διαιρούμε όλο αυτό το άθροισμα με το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι 4. Και πόσο κάνει τελικά αυτό; 2 μείον 3 κάνει -1 και η απόλυτη τιμή του -1 κάνει 1. 2 μείον 3, -1 άρα και εδώ έχουμε πάλι, ένα και δείτε τώρα τι έχουμε βρει. Έχουμε βρει ότι η απόσταση που έχει το 2 από το 3 είναι 1 που προφανώς ισχύει. Το 2 από το 3 απέχει 1 μονάδα. Αυτό ακριβώς μας δείχνει η απόλυτη τιμή του 2 μείον 3. Την απόσταση του 2 από το 3. 4 μείον 3 λοιπόν κάνει 1 και η απόλυτη τιμή του 1 κάνει 1 άρα 1 εδώ και 1 εδώ. Παρατηρήστε λοιπόν ότι κάθε τιμή απέχει από τη μέση τιμή μία μονάδα μία μονάδα και επειδή μιλάμε για απόσταση για αυτό το λόγο χρησιμοποιήσαμε την απόλυτη τιμή. για αυτό το λόγο χρησιμοποιήσαμε την απόλυτη τιμή. Έχουμε λοιπόν 4 παρατηρήσεις και κάθε μία από αυτές απέχει 1 μονάδα από τη μέση τιμή. Η Μέση Απόλυτη Απόκλιση λοιπόν είναι 1 και 1 και 1 και 1 4 διά 4 που κάνει πάλι 1. Επομένως ο μέσος όρος των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή Επομένως ο μέσος όρος των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή είναι ίσος με 1. Που στην ουσία έχει απόλυτα νόημα αφού κάθε τιμή απέχει μία μονάδα από τη μέση τιμή επομένως και ο μέσος όρος αυτών των αποστάσεων θα είναι πάλι ένα. Πάμε τώρα να βρούμε το αντίστοιχο μέτρο στο δεύτερο δείγμα. Και σας προτείνω αν θέλετε να κάνετε μία παύση στο βίντεο και να προσπαθήσετε να υπολογίσετε μόνοι σας τη Μέση Απόλυτη Απόκλιση σε αυτό το δείγμα. Πάμε να το δούμε και μαζί. Πάμε να βρούμε τη απόσταση κάθε τιμής από τη μέση τιμή. Πάμε να βρούμε τη απόσταση κάθε τιμής από τη μέση τιμή. Απόλυτη τιμή λοιπόν του 1 μείον 3 για το πρώτο 1 συν την απόλυτη τιμή του 1 πάλι μείον 3 αφού έχουμε και άλλο ένα 1 συν 6 μείον 3 σε απόλυτη τιμή και 4 μείον 3 απόλυτη τιμή διά 4 που είναι οι παρατηρήσεις που έχουμε. Ένα μείον τρία, κάνει μείον 2 και η απόλυτη τιμή του -2 είναι δύο. Που είναι προφανώς και η απόσταση του 1 από το 3. Δεν μας ενδιαφέρει αν μία τιμή είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τη μέση τιμή εμάς μας νοιάζει μόνο η απόσταση τους από τη μέση τιμή. Έχουμε λοιπόν άλλο ένα 1 που απέχει πάλι 2 μονάδες από το 3 6 μείον 3 που κάνει 3 και η απόλυτη τιμή του 3 κάνει 3 Το 6 απέχει 3 μονάδες από το 3 Το 6 απέχει 3 μονάδες από το 3 Το 6 απέχει 3 μονάδες από το 3 και τέλος 4 μείον 3 κάνει 1 και η απόλυτη τιμή του 1 είναι 1 που είναι και η απόσταση του 4 από το 3. Έχουμε λοιπόν: 2 και 2, 4, και 3, 7, συν 1, 8 διά 4 που κάνει 2. Η Μέση Απόλυτη Απόκλιση λοιπόν εδώ είναι 2. Βρήκαμε λοιπόν ότι η Μέση Απόλυτη Απόκλιση του δεύτερου δείγματος είναι 2 ενώ η ΜΑΑ του πρώτου δείγματος είναι 1. Και τι μας λένε ακριβώς αυτοί οι αριθμοί; Μας λένε ότι αν και τα δύο δείγματα έχουν την ίδια μέση τιμή 3 στο δεύτερο δείγμα που η ΜΑΑ είναι 2 η μέση δηλαδή απόσταση των τιμών από τη μέση τιμή είναι 2 άρα οι τιμές απλώνονται περισσότερο γύρω από τη μέση τιμή αντίθετα με το πρώτο δείγμα που η ΜΑΑ είναι 1. Οι τιμές δηλαδή εδώ είναι πιο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή. Αυτό που συμπεραίνουμε λοιπόν είναι ότι οι τιμές στο δεύτερο δείγμα διασπείρονται περισσότερο γύρω από τη μέση τιμή αντίθετα με τις τιμές στο 1ο δείγμα που είναι πιο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή.