Επαλήθευση λύσεων σε ανισότητες

Έχουμε δύο ανισώσεις. Στην πρώτη αριστερά έχουμε ότι το x και 2 είναι μικρότερο ή ίσο του 2x και στην άλλη το 3x και 4 είναι μεγαλύτερο από το 5χ. Έχουμε επίσης τέσσερις αριθμούς και θέλουμε να δούμε αν κάποιος από αυτούς επαληθεύει κάποια ανίσωση. αν κάποιος από αυτούς επαληθεύει κάποια ανίσωση. Κάντε μία παύση στο βίντεο και δοκιμάστε μόνοι σας έναν έναν τους αριθμούς. Το 0 ικανοποιεί κάποια ανίσωση; Το 1 επαληθεύει κάποια από τις δύο; Το 1 επαληθεύει κάποια από τις δύο; Δοκιμάστε όλους τους αριθμούς και στις δύο αν ισώσεις και δείτε αν τις επαληθεύουν. Δοκιμάστε όλους τους αριθμούς και στις δύο αν ισώσεις Ωραία! Αν το δοκιμάσατε μόνοι σας πάμε να το δούμε και μαζί. Ας πούμε λοιπόν ότι ξεκινάμε με το 0 στην πρώτη ανίσωση. Αντικαθιστούμε λοιπόν το x με 0 και έχουμε: 0 συν 2, είναι μικρότερο ίσο του δύο φορές το 0; Αληθεύει αυτό; Για να δούμε. Στο πρώτο μέλος έχουμε 0 συν 2 που κάνει 2 και θέλουμε να είναι μικρότερο ή ίσο από το 0 επί 2 που κάνει 0. Είναι το 2 μικρότερο ή ίσο από το 0; Φυσικά όχι. Το 2 είναι μεγαλύτερο από το 0. Άρα η πρόταση αυτή δεν είναι αληθής επομένως το 0 δεν ικανοποιεί την πρώτη ανίσωση. Πάμε τώρα να δούμε αν επαληθεύει τη δεύτερη. Για να επαληθεύει αρκεί το 3 επί 0 συν 4 να είναι μεγαλύτερο από το 5 επί 0. 3 επί 0, 0 συν 4, 4. και το 4 είναι μεγαλύτερο από το 0; Φυσικά και είναι άρα το 0 ικανοποιεί αυτήν την ανίσωση. Πάμε τώρα στο 1. Θέλουμε να δούμε αν το 1 και 2 είναι μικρότερο ή ίσο από το 2 επί 1 που κάνει 2. 2 και 1 κάνει 3, και το 3 είναι μικρότερο ή ίσο από το 2; Όχι. Το 3 είναι μεγαλύτερο του 2 επομένως και το 1 δεν ικανοποιεί αυτήν την ανίσωση. επομένως και το 1 δεν ικανοποιεί αυτήν την ανίσωση. Πάτε τώρα δεξιά. 3 επί 1 συν 4 είναι μεγαλύτερο από το 5 επί 1; 3 επί 1 κάνει 3, συν 4 7 και το 7 είναι μεγαλύτερο από το 5 επί 1 που κάνει 5; Ναι αυτό είναι αληθές άρα και το 1 και το 0 επαληθεύουν την ανίσωση στα δεξιά αλλά δεν επαληθεύουν την ανίσωση αριστερά. Πάμε τώρα να δούμε το 2. Βάζουμε όπου x το 2 στην πρώτη ανίσωση και παίρνουμε: 2 συν 2 μικρότερο ή ίσο από το 2 επί 2. Το 4 είναι μικρότερο ή ίσο από το 4; Το 4 είναι ίσο με το 4 και εμείς θέλουμε μικρότερο ή ίσο άρα η πρόταση είναι αληθής. Επομένως το 2 τελικά ικανοποιεί την ανίσωση. Πάμε να το δούμε στην ανισότητα δεξιά. Το 3 φορές το 2 συν 4 θέλουμε να είναι μεγαλύτερο από το 5 επί 2. 3 επί 2, 6 συν 4, 10 και θέλουμε το 10 να είναι γνήσια μεγαλύτερο από το 2 επί 5 που κάνει 10. από το 2 επί 5 που κάνει 10. Το 10 όμως είναι ίσο με το 10, δεν είναι μεγαλύτερο άρα δεν επαληθεύει. Αν είχαμε μεγαλύτερο ή ίσο τότε θα ήταν μια χαρά. τότε θα ήταν μια χαρά. Εδώ έχουμε γνήσια ανισότητα, 10 μεγαλύτερο από το 10 που προφανώς δεν ισχύει αφού το 10 είναι ίσο με το 10 άρα το 2 δεν ικανοποιεί αυτήν την ανίσωση. Πάμε τώρα να δοκιμάσουμε το 5. Στην αριστερά ανίσωση βάζουμε όπου x το 5 και θέλουμε τελικά το 5 και 2 να είναι μικρότερο ή ίσο με το 5 επί 2. Το 7 δηλαδή μικρότερο ή ίσο από το 10 που ισχύει αφού το 7 είναι μικρότερο από το 10. Ικανοποιείται ένα από τα μικρότερο ή ίσο άρα αληθεύει η ανισότητα επομένως το 5 επαληθεύει την ανίσωση. Αυτό που θα έχετε παρατηρήσει ως τώρα, είναι ότι μία ανίσωση μπορεί να έχει τελικά πολλές λύσεις που την ικανοποιούν. Μπορεί μάλιστα να έχει από καμία λύση ως άπειρες λύσεις. Εμείς τώρα μέχρι στιγμής στους αριθμούς που δοκιμάσαμε βρήκαμε Εμείς τώρα μέχρι στιγμής στους αριθμούς που δοκιμάσαμε βρήκαμε ότι το 0 και το 1 ικανοποιούν τη δεξιά ανίσωση αλλά όχι την ανίσωση αριστερά και το 2 επαληθεύει την αριστερά ανίσωση αλλά όχι τη δεξιά. Πάμε τώρα να δούμε το 5 δεξιά αφού αριστερά επαληθεύει. 3 επί 5 συν 4 είναι μεγαλύτερο από το 5 επί 5; 3 επί 5 κάνει 15, συν 4, 19 και το 19 δεν είναι μεγαλύτερο από 25 και το 19 δεν είναι μεγαλύτερο από 25 και το 19 δεν είναι μεγαλύτερο από 25 άρα το 5 δεν επαληθεύει τη δεξιά ανίσωση. άρα το 5 δεν επαληθεύει τη δεξιά ανίσωση