Μεταβλητές, παραστάσεις και εξισώσεις

Όταν έχουμε να κάνουμε με βασική αριθμητική, στην ουσία έχουμε να κάνουμε με διακριτούς αριθμούς. Αν για παράδειγμα έχουμε το 23 + 5 έχουμε τους αριθμούς και μπορούμε να κάνουμε κανονικά τις πράξεις που εδώ κάνει 28. 2 x 7 3 διά 4 σε κάθε περίπτωση ξέρουμε ακριβώς με τι αριθμούς έχουμε να κάνουμε. Καθώς όμως προχωράμε όλο και περισσότερο στον κόσμο της Άλγεβρας Καθώς όμως προχωράμε όλο και περισσότερο στον κόσμο της Άλγεβρας αρχίζουμε να ασχολούμαστε με την έννοια των μεταβλητών. Θα μπορούσαμε να πούμε πολλά για την έννοια της μεταβλητής Θα μπορούσαμε να πούμε πολλά για την έννοια της μεταβλητής αλλά στην ουσία δεν είναι τίποτα άλλο από ένα γράμμα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές. που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα αν γράψουμε x + 5 λέμε ότι έχουμε μία αλγεβρική παράσταση που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές ανάλογα με την τιμή που μπορεί να πάρει η μεταβλητή x. Αν το x είναι ίσο με 1 Αν το x είναι ίσο με 1 τότε στο x + 5, τότε στο x + 5, το x είναι ίσο με 1 το x είναι ίσο με 1 και η παράστασή γίνεται 1 + 5 που κάνει 6. Αν το x είναι ίσο με το -7 τότε αντικαθιστούμε στο x+5 όπου χ το -7 και υπολογίζουμε το -7 + 5 που κάνει -2. Παρατηρήστε τώρα ότι το x είναι μία μεταβλητή που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές ανάλογα με αυτό που θέλουμε. Αυτές οι αλγεβρικές παραστάσεις εμφανίζονται στις εξισώσεις αλλά είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι αλγεβρική παράσταση και εξίσωση δεν είναι το ίδιο πράγμα. Μια αλγεβρική παράσταση είναι μία αλγεβρική έκφραση με γράμματα και αριθμούς, που δηλώνει μία ποσότητα. είναι μία αλγεβρική έκφραση με γράμματα και αριθμούς, που δηλώνει μία ποσότητα. Αλγεβρική παράσταση για παράδειγμα είναι αυτό το x+5 που είχαμε εδώ. είναι αυτό το x+5 που είχαμε εδώ. Η τιμή της παράστασης τώρα, αλλάζει ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής. αλλάζει ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής. Και μπορείτε να δοκιμάσετε διάφορες τιμές του x. Μια άλλη αλγεβρική παράσταση θα μπορούσε να είναι.. το y + z. Εδώ τώρα έχουμε μόνο μεταβλητές. Αν το y είναι 1 και το z, 2, τότε έχουμε 1 + 2. Εάν το y είναι 0 και το z, -1, έχουμε 0 + (-1) κ.ο.κ. Κάθε παράσταση δίνει τιμές ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής ή των μεταβλητών που έχει. ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής ή των μεταβλητών που έχει. Σε μια εξίσωση τώρα, αυτό που έχουμε ουσιαστικά είναι μία ισότητα παραστάσεων όπου στην ουσία εξισώνουμε θέλουμε δηλαδή να είναι ίσες, δύο ποσότητες... θέλουμε δηλαδή να είναι ίσες, δύο ποσότητες... δηλαδή μία αλγεβρική παράσταση να είναι ίση με κάποια άλλη. Αν για παράδειγμα έχουμε x + 3 = 1 τότε σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε μια εξίσωση με έναν άγνωστο, με έναν άγνωστο, και στην ουσία αναζητάμε την τιμή του άγνωστου x που επαληθεύει την ισότητα. Αυτή τώρα είναι μία εύκολη εξίσωση που μπορούμε να κάνουμε και στο μυαλό μας. Τι πρέπει να προσθέσω στο 3 για να κάνει 1; Μα φυσικά το -2. -2 + 3 κάνει 1. Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι σε μία εξίσωση η έννοια της μεταβλητής περιορίζεται αφού δεν μπορεί να πάρει πολλές τιμές. Αν τώρα είχαμε την εξίσωση x + y + z = 5 τότε σε αυτήν τη ισότητα οι τιμές του x περιορίζονται ανάλογα με τις τιμές που μπορούν να πάρουν τα y και z, το z περιορίζεται ανάλογα με τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές x και y κ.ο.κ. ανάλογα με τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές x και y κ.ο.κ. Αν για παράδειγμα, είχαμε ότι το y = 3 και το z = 2, τότε πόσο πρέπει να είναι το x; Μα αν το y = 3 και το z = 2, τότε η παράσταση στο 1ο μέλος της ισότητας γράφεται x + 3 + 2, που κάνει x + 5 και θέλουμε να είναι ίσο με το 5. x + 5 = 5 Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 5 για να κάνει 5; Μα φυσικά το 0 και εδώ βλέπετε τι εννοούσαμε πριν ότι η μεταβλητή χ έχει πλέον περιοριστεί και μπορεί να πάρει μόνο την τιμή 0 για να ισχύει η ισότητα. Εύχομαι τώρα να έγινε κατανοητή η διαφορά μεταξύ μιας αλγεβρικής παράστασης από μία εξίσωση. Μία εξίσωση, δεν είναι τίποτα άλλο από την ισότητα δύο αλγεβρικών παραστάσεων. Ένα άλλο σημαντικό σημείο που είδαμε είναι η έννοια της μεταβλητής όπου σε μία αλγεβρική παράσταση μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές ανάλογα με το πρόβλημα. Ας κάνουμε μερικά παραδείγματα Ας κάνουμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού αλγεβρικών παραστάσεων. Αν για παράδειγμα είχαμε την παράσταση Αν για παράδειγμα είχαμε την παράσταση Αν για παράδειγμα είχαμε την παράσταση x εις την y και το x είναι ίσο με 5, και το y είναι ίσο με 2 τότε η παράσταση αυτή αν αντικαταστήσουμε το x με το 5 και το y με 2 γίνεται 5 στο τετράγωνο που είναι ίσο με 25. που είναι ίσο με 25. Εάν αλλάξουμε τις τιμές, και βάλουμε τώρα το x να είναι ίσο με -2, και το y είναι ίσο με 3, τότε η παράσταση με αντικατάσταση όπου x το -2 γράφεται -2 και όπου y το 3 εις την -3. -2 επί -2 επί -2 είναι ίσο με -8. -2 επί -2 κάνει 4 και 4 επί -2, -8. και 4 επί -2, -8. Θα μπορούσαμε τώρα να είχαμε ακόμα πιο σύνθετες παραστάσεις. Θα μπορούσαμε τώρα να είχαμε ακόμα πιο σύνθετες παραστάσεις. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να είχαμε την παράσταση τετραγωνική ρίζα του x + y μείον x και το x να είναι ίσο με 1 και το x να είναι ίσο με 1 και το y ίσο με 8. Υπολογίζουμε την τιμή της παράστασης με αντικατάσταση βάζοντας, όπου x το 1, άρα βάζουμε εδώ 1 και εδώ 1, και όπου y το 8. Βάζουμε λοιπόν εδώ στη θέση του y, το 8. Έχουμε τελικά κάτω από τη ρίζα 1+8 και η ρίζα του 9 είναι ίση με 3, μείον 1 2.