Εξισώσεις διαίρεσης ενός βήματος

Ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση 7 φορές το x είναι ίσο με δεκατέσσερα. Τώρα, πριν προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτή την εξίσωση, αυτό που θέλω να κάνουμε είναι να δούμε λίγο τι σημαίνει 7x=14. αυτό που θέλω να κάνουμε είναι να δούμε λίγο τι σημαίνει 7x=14. αυτό που θέλω να κάνουμε είναι να δούμε λίγο τι σημαίνει 7x=14. 7χ=14 σημαίνει ότι έχουμε 7 φορές το x και είναι ίσο με 14. 7χ=14 σημαίνει ότι έχουμε 7 φορές το x και είναι ίσο με 14. 7χ=14 σημαίνει ότι έχουμε 7 φορές το x και είναι ίσο με 14. 7χ=14 σημαίνει ότι έχουμε 7 φορές το x και είναι ίσο με 14. Αυτό τώρα, μπορεί ίσως και εύκολα να μπορείτε να το δείτε στο μυαλό σας από την προπαίδεια του 7. Αυτό τώρα, μπορεί ίσως και εύκολα να μπορείτε να το δείτε στο μυαλό σας από την προπαίδεια του 7. Με ποιόν αριθμό πολλαπλασιάζουμε το 7 και κάνει 14; Μα φυσικά το 2. 7 επί 2 κάνει 14. Άρα το 2 είναι η λύση της εξίσωσης. Αυτός τώρα είναι ένας τρόπος να σκεφτούμε. Δοκιμάζουμε αριθμούς μέχρι να βρούμε ποιος μας κάνει. Ε προφανώς αυτό όπως καταλαβαίνετε δε βολεύει σε δύσκολες εξισώσεις για αυτό το λόγο, σε αυτό το βίντεο θα προσπαθήσουμε να συστηματοποιήσουμε την επίλυση τέτοιων εξισώσεων με έναν πιο αλγεβρικό τρόπο. θα προσπαθήσουμε να συστηματοποιήσουμε την επίλυση τέτοιων εξισώσεων με έναν πιο αλγεβρικό τρόπο. Όσο οι εξισώσεις αυτές γίνονται περίπλοκες προφανώς δεν θα μπορούμε να τις κάνουμε στο μυαλό μας Όσο οι εξισώσεις αυτές γίνονται περίπλοκες προφανώς δεν θα μπορούμε να τις κάνουμε στο μυαλό μας για αυτό το λόγο είναι σημαντικό να καταλάβουμε τι σημαίνουν για αυτό το λόγο είναι σημαντικό να καταλάβουμε τι σημαίνουν για αυτό το λόγο είναι σημαντικό να καταλάβουμε τι σημαίνουν και στη συνέχεια να μάθουμε να τις λύνουμε με ένα πιο αλγεβρικό τρόπο. Η εξίσωση λοιπόν αυτή μας λέει ότι 7 φορές το x είναι ίσο με το 14. Στην άλγεβρα όπως έχουμε πει δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού αλλά βάζουμε τελεία Στην άλγεβρα όπως έχουμε πει δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού αλλά βάζουμε τελεία και όταν έχουμε έναν αριθμό δίπλα σε μία μεταβλητή στην ουσία σημαίνει ότι κάνουμε πολλαπλασιασμό. και όταν έχουμε έναν αριθμό δίπλα σε μία μεταβλητή στην ουσία σημαίνει ότι κάνουμε πολλαπλασιασμό. Είναι μια συντομογραφία. Αν θυμάστε είχαμε πει ότι δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού γιατί στην άλγεβρα η πιο κοινή μεταβλητή που χρησιμοποιούμε είναι το χ επομένως μπορεί να δημιουργηθεί σύγχυση. γιατί στην άλγεβρα η πιο κοινή μεταβλητή που χρησιμοποιούμε είναι το χ επομένως μπορεί να δημιουργηθεί σύγχυση. Δείτε για παράδειγμα αν έγραφα 7x=14 χρησιμοποιώντας το σύμβολο του πολλαπλασιασμού Δείτε για παράδειγμα αν έγραφα 7x=14 χρησιμοποιώντας το σύμβολο του πολλαπλασιασμού τότε θα είχαμε κάτι σαν 7xx=14 που προφανώς μας μπερδεύει. Έτσι, σε γενικές γραμμές όταν λύνουμε εξισώσεις, δεν χρησιμοποιούμε το τυπικό σύμβολο του πολλαπλασιασμού, αλλά βάζουμε μία τελεία ή απλά γράφουμε τον αριθμό δίπλα στη μεταβλητή και εννοείται ότι έχουμε πολλαπλασιασμό. αλλά βάζουμε μία τελεία ή απλά γράφουμε τον αριθμό δίπλα στη μεταβλητή και εννοείται ότι έχουμε πολλαπλασιασμό. αλλά βάζουμε μία τελεία ή απλά γράφουμε τον αριθμό δίπλα στη μεταβλητή και εννοείται ότι έχουμε πολλαπλασιασμό. Επομένως ή γράφουμε 7, τελεία x ίσο με 14, ή ακόμα απλούστερα 7χ = 14 όπως και έχουμε γράψει. ή ακόμα απλούστερα 7χ = 14 όπως και έχουμε γράψει. Αυτό το 7χ λοιπόν, Αυτό το 7χ λοιπόν, σημαίνει 7 φορές το χ όπως είπαμε και πάμε να το αναπαραστήσουμε. σημαίνει 7 φορές το χ όπως είπαμε και πάμε να το αναπαραστήσουμε. 7 φορές το χ που σημαίνει ότι προσθέτουμε το χ εφτά φορές. Άρα το 7χ είναι το ίδιο με x συν x, συν x, συν x, συν x, 5 φορές το χ, και άλλες δύο φορές ακόμα, χ συν χ, εφτά χ. Αυτό λοιπόν όλο, είναι το 7χ και η εξίσωσή μας, μας λέει ότι είναι ίσο με 14. Άρα αυτά τα εφτά χ, ας πούμε ότι είναι ίσα με 14 αντικείμενα και πούμε για παράδειγμα ότι είναι ίσα 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 κυκλάκια. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 κυκλάκια. Σύμφωνα λοιπόν με την εξίσωσή μας, τι γνωρίζουμε; Γνωρίζουμε ότι αυτά τα εφτά χ κάνουν 14 κυκλάκια. Ωραία! Εδώ τώρα έχουμε μία εξίσωση όπου ο άγνωστος x είναι παράγοντας ενός γινομένου και ο αριθμός 7 σε αυτό το γινόμενο, που βρίσκεται μπροστά από τη μεταβλητή, ονομάζεται συντελεστής. και ο αριθμός 7 σε αυτό το γινόμενο, που βρίσκεται μπροστά από τη μεταβλητή, ονομάζεται συντελεστής. Οι παράγοντες λοιπόν αυτού του γινομένου, είναι ο συντελεστής 7 και η μεταβλητή x. Για να λύσουμε λοιπόν μία τέτοια εξίσωση αρκεί να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου χ, το 7. αρκεί να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου χ, το 7. Θέλουμε δηλαδή να χωρίσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης σε 7 ίσες ομάδες. Διαιρούμε με το 7, χωρίζουμε δηλαδή σε 7 ίσες ομάδες. άρα 14 διά 7 κάνει 2 επομένως και η λύση της εξίσωσής μας είναι το 2. Διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 7 και αυτό συμβαίνει γιατί όπως έχουμε μάθει όταν κάνουμε κάτι στη μία πλευρά μίας εξίσωσης ακριβώς το ίδιο κάνουμε και στην άλλη πλευρά για να διατηρηθεί η ισότητα που έχουμε. ακριβώς το ίδιο κάνουμε και στην άλλη πλευρά για να διατηρηθεί η ισότητα που έχουμε. Μην ξεχνάτε ότι η εξίσωση είναι μία ισότητα άρα αν κάνουμε μία πράξη στο ένα μέρος της ισότητας τότε το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέρος της ισότητας για να παραμείνει η μία πλευρά ίση με την άλλη. άρα αν κάνουμε μία πράξη στο ένα μέρος της ισότητας τότε το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέρος της ισότητας για να παραμείνει η μία πλευρά ίση με την άλλη. άρα αν κάνουμε μία πράξη στο ένα μέρος της ισότητας τότε το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέρος της ισότητας για να παραμείνει η μία πλευρά ίση με την άλλη. Διαιρέσαμε λοιπόν και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το 7 άρα χωρίσαμε σε επτά ίσες ομάδες. Άρα χωρίζουμε τα 7χ σε εφτά ίσες ομάδες, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, και επειδή διαιρέσαμε και το άλλο μέρος της ισότητας με το 7 χωρίσαμε και αυτά τα 14 κυκλάκια σε 7 ίσες ομάδες. Μία, δύο, τρεις, τέσσερις, πέντε, έξι, επτά. Αν λοιπόν οι 7 ομάδες στο αριστερό μέρος είναι ίσες με τις 7 ομάδες στο δεξιό μέρος Αν λοιπόν οι 7 ομάδες στο αριστερό μέρος είναι ίσες με τις 7 ομάδες στο δεξιό μέρος τότε κάθε μία από αυτές τις ομάδες θα είναι ίσες μεταξύ τους. Πράγμα που σημαίνει ότι μία ομάδα που έχει ένα χ, θα είναι ίση με μία ομάδα με δύο κυκλάκια Πράγμα που σημαίνει ότι μία ομάδα που έχει ένα χ, θα είναι ίση με μία ομάδα με δύο κυκλάκια άρα το χ είναι ίσο με 2. Ας το ξαναδούμε. 7 ομάδες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίσες με 7 ομάδες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης Ας το ξαναδούμε. 7 ομάδες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίσες με 7 ομάδες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης Ας το ξαναδούμε. 7 ομάδες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίσες με 7 ομάδες στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης άρα κάθε ομάδα με ένα χ θα είναι ίση με μία ομάδα με 2 κυκλάκια επομένως χ = 2. Ας κάνουμε τώρα μερικά τέτοια παραδείγματα για να καταλάβουμε καλύτερα πως δουλεύουμε αντίστοιχες εξισώσεις. Ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση 3x ίσο με 15, μία εξίσωση απλή, που θα μπορούσαμε πάλι να κάνουμε στο μυαλό μας. 3 φορές το κάτι, κάνει 15... πόσο είναι αυτό το κάτι; Από την προπαίδεια του 3 ξέρουμε ότι 3 επί ΠΕΝΤΕ κάνει 15 άρα το χ είναι 5. Πάμε όμως να δούμε ξανά, πως λύνουμε την εξίσωση αλγεβρικά. Έχουμε μία εξίσωση, μία ισότητα δηλαδή Έχουμε μία εξίσωση, μία ισότητα δηλαδή και το ένα μέλος αριστερά είναι ίσο με το άλλο μέρος στα δεξιά. Τι χρειάζεται να κάνουμε για να αφήσουμε μόνο ένα x στο αριστερό μέρος της εξίσωσης; Τι χρειάζεται να κάνουμε για να αφήσουμε μόνο ένα x στο αριστερό μέρος της εξίσωσης; Για να αφήσουμε μόνο του το x, αρκεί να διαιρέσουμε με το 3. Αν πολλαπλασιάσουμε με το 3 και στη συνέχεια διαιρέσουμε με το 3 θα πάρουμε ένα, άρα μας μένει ένα x. Εμείς όμως έχουμε ότι το 3x είναι ίσο με 15. Άρα αφού διαιρέσαμε με το 3 την αριστερή πλευρά της εξίσωσης τότε πρέπει να διαιρέσουμε με το 3 και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. τότε πρέπει να διαιρέσουμε με το 3 και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Και τι μας έμεινε τελικά; Αριστερά όπως είπαμε θα μείνουμε με ένα χ, αφού 3 διά 3 κάνει 1, ένα χ Αριστερά όπως είπαμε θα μείνουμε με ένα χ, αφού 3 διά 3 κάνει 1, ένα χ και δεξιά έχουμε 15 διά 3 που μας κάνει 5. και δεξιά έχουμε 15 διά 3 που μας κάνει 5. και δεξιά έχουμε 15 διά 3 που μας κάνει 5. Πάμε τώρα να δούμε την εξίσωση με έναν άλλο τρόπο που στην ουσία είναι ακριβώς ο ίδιος. Πάμε τώρα να δούμε την εξίσωση με έναν άλλο τρόπο που στην ουσία είναι ακριβώς ο ίδιος. 'Έχουμε 3χ = 15 και θέλουμε να διώξουμε το 3. Θα μπορούσαμε τώρα αντί να διαιρέσουμε με το 3 να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 1/3. να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 1/3. Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν και τα δύο μέρη με το 1/3 και πάμε να δούμε τι θα γίνει: Ας πολλαπλασιάσουμε λοιπόν και τα δύο μέρη με το 1/3 και πάμε να δούμε τι θα γίνει: Αριστερά έχουμε 1/3 επί 3, δηλαδή το 1/3 του 3 που κάνει ένα, άρα μένει ένα x, δηλαδή το 1/3 του 3 που κάνει ένα, άρα μένει ένα x, και είναι ίσο με 15 επί 1/3 που κάνει 5. Αυτοί οι δύο τρόποι όμως τελικά είναι ακριβώς οι ίδιοι αφού όπως ξέρουμε διαίρεση με το 3 σημαίνει πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του 3, δηλαδή το 1/3. διαίρεση με το 3 σημαίνει πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του 3, δηλαδή το 1/3. διαίρεση με το 3 σημαίνει πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του 3, δηλαδή το 1/3. Ας κάνουμε ένα τελευταίο παράδειγμα, λίγο πειραγμένο. Ας κάνουμε ένα τελευταίο παράδειγμα, λίγο πειραγμένο. Ας πούμε ότι έχουμε, 2y συν 4y ότι κάνει 18 Ας πούμε ότι έχουμε, 2y συν 4y ότι κάνει 18 Ας πούμε ότι έχουμε, 2y συν 4y ότι κάνει 18 Ας πούμε ότι έχουμε, 2y συν 4y ότι κάνει 18 και παρατηρήστε ότι ενώ δυσκολέψαμε λίγο την εξίσωση, δεν εύκολο να λυθεί στο μυαλό μας. και παρατηρήστε ότι ενώ δυσκολέψαμε λίγο την εξίσωση, δεν εύκολο να λυθεί στο μυαλό μας. και παρατηρήστε ότι ενώ δυσκολέψαμε λίγο την εξίσωση, δεν εύκολο να λυθεί στο μυαλό μας. και παρατηρήστε ότι ενώ δυσκολέψαμε λίγο την εξίσωση, δεν εύκολο να λυθεί στο μυαλό μας. 2 κάτι συν 4 κάτι κάνει 18. Ε πόσο είναι αυτό το κάτι; Δεν είναι εύκολο να το βρούμε για αυτό το λόγο παμε να το κάνουμε αλγεβρικά. Ας αναλύσουμε λίγο καλύτερα αυτό που έχουμε. Έχουμε 2y δηλαδή 2 φορές το y, δηλαδή 2 φορές το y, y συν y, και προσθέτουμε σε αυτό άλλα 4 y δηλαδή συν τέσσερα y ακόμα. y συν y συν y συν y. Και όλο αυτό είναι ίσο με 18. Και όλο αυτό είναι ίσο με 18. Τώρα, πόσα y έχουμε στην αριστερή πλευρά; Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι y. άρα η αρχική εξίσωση που είχαμε μπορεί να γραφτεί τελικά ως 6y = 18. άρα η αρχική εξίσωση που είχαμε μπορεί να γραφτεί τελικά ως 6y = 18. Μα αυτό είναι λογικό! 2y και 4y και όλο μαζί κάνει 6y. 2 ψωμάκια και 4 ψωμάκια, 6 ψωμάκια. Άρα 2 y συν 4 y, 6 y και είναι ίσο με 18. Άρα 2 y συν 4 y, 6 y και είναι ίσο με 18. Και τώρα νομίζω ότι τα πράγματα έχουν απλοποιηθεί Και τώρα νομίζω ότι τα πράγματα έχουν απλοποιηθεί αφού αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 6, θα μείνει το y μόνο άρα θα έχουμε λύσει την εξίσωση. θα μείνει το y μόνο άρα θα έχουμε λύσει την εξίσωση. Διαιρούμε λοιπόν την αριστερή πλευρά με το 6 Διαιρούμε λοιπόν την αριστερή πλευρά με το 6 και διαιρούμε και την δεξιά πλευρά με το 6 και βρίσκουμε τελικά y ίσο με 3. Και μπορούμε να κάνουμε και επαλήθευση για να εξετάσουμε αν το αποτέλεσμα που βρήκαμε ισχύει. Και μπορούμε να κάνουμε και επαλήθευση για να εξετάσουμε αν το αποτέλεσμα που βρήκαμε ισχύει. Και μπορούμε να κάνουμε και επαλήθευση για να εξετάσουμε αν το αποτέλεσμα που βρήκαμε ισχύει. Πάμε να το δούμε. 2 επί 3 συν 4 επί 3, κάνει 2 επί 3, 6. και 4 επί 3, 12 12 και 6, 18, που επαληθεύει την ισότητα που έχουμε.