Εξισώσεις πολλαπλασιασμού ενός βήματος

Πάμε να κάνουμε εξάσκηση στην επίλυση εξισώσεων και θα κάνουμε μερικές πιο δύσκολες εξισώσεις που θα έχουν μέσα τους κλάσματα και δεκαδικούς. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε την εξίσωση 1,2 c ίσον με 0,6. Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε το 1,2 για να πάμε στο 0,6; Και ο λόγος που μαθαίνουμε να λύνουμε εξισώσεις είναι γιατί όπως βλέπετε αυτή η εξίσωση δεν είναι και τόσο εύκολη να γίνει με το μυαλό μας. είναι γιατί όπως βλέπετε αυτή η εξίσωση δεν είναι και τόσο εύκολη να γίνει με το μυαλό μας. Στο αριστερό μέλος της εξίσωσης το άγνωστο c πολλαπλασιάζεται με το 1,2 και αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να το αφήσουμε μόνο του. και αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να το αφήσουμε μόνο του. Και πως θα το κάνουμε αυτό; Διαιρούμε το αριστερό μέλος της εξίσωσης με το 1,2 και όπως έχουμε πει πολλές φορές όταν κάνουμε κάτι στο ένα μέλος της εξίσωσης το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέλος της εξίσωσης για να διατηρηθεί η ισότητα. το ίδιο κάνουμε και στο άλλο μέλος της εξίσωσης για να διατηρηθεί η ισότητα. Διαιρούμε λοιπόν και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 1,2 και αριστερά έχουμε: 1,2c διά 1,2 που κάνει απλά c και είναι ίσο με 0,6 διά 1,2. Με τι είναι ίσο αυτό; Πώς κάνουμε τη διαίρεση 0,6 διά 1,2; Ο στόχος μας είναι να πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με έναν αριθμό έτσι ώστε να καταφέρουμε να διώξουμε τις υποδιαστολές. Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε λοιπόν για να φύγουν λοιπόν οι υποδιαστολές; Με τι χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε λοιπόν για να φύγουν λοιπόν οι υποδιαστολές; Για να δούμε! Αν πολλαπλασιάσουμε με το 10 θα πάρουμε 6 στον αριθμητή Αν πολλαπλασιάσουμε με το 10 θα πάρουμε 6 στον αριθμητή και 12 στον παρανομαστή άρα πολλαπλασιάζουμε τελικά και τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος με το 10 και παίρνουμε: 0,6 επί 10 που κάνει 6 και 1,2 επί 10 που κάνει 12. Το c λοιπόν είναι ίσο με 6/12 και μπορούμε να απλοποιήσουμε διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή με το 6 άρα 1/2. άρα 1/2. Το c λοιπόν είναι ίσο με 1/2 και μπορούμε να κάνουμε και επαλήθευση: Αν βάλουμε στην αρχική μας εξίσωση όπου c το 1/2, Αν βάλουμε στην αρχική μας εξίσωση όπου c το 1/2, τότε έχουμε 1,2 επί 1/2, δηλαδή το μισό του 1,2 που είναι ίσο με 0,6. Ας κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα. Ας πούμε ότι έχουμε ότι 1/4 ίσο με y/12. Πόσο είναι το y; Στο δεξιά μέλος της εξίσωσης τώρα ο άγνωστος y διαιρείται με το 12. Για να διώξουμε λοιπόν αυτό το 12 και να αφήσουμε μόνο του το y αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με το 12. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν δεξιά με το 12 και πολλαπλασιάζουμε και αριστερά με το 12. Και για ποιο λόγο τελικά το κάνουμε αυτό; Γιατί στην ουσία ψάχνουμε έναν αριθμό που αν πολλαπλασιάσουμε το y/12, να φύγει το 12 και να μείνει μόνο του το y. y διά 12 επί 12...12 διά 12 κάνει 1 αυτά λοιπόν διαγράφονται και αριστερά έχουμε 12 επί 1/4 που είναι ίσο με 12/4. Το 12/4 λοιπόν είναι ίσο με y και αν το διαβάσουμε και ανάποδα το y τελικά είναι ίσο με 12/4 που κάνει 3. Ας κάνουμε και επαλήθευση. Το 1/4 είναι ίσο με 3/12; Φυσικά και είναι αφού το 3/12 απλοποιείται με το 3 και κάνει 1/4. Φυσικά και είναι αφού το 3/12 απλοποιείται με το 3 και κάνει 1/4. Ας κάνουμε άλλο ένα. Θέλουμε το 4,5 να είναι ίσο με 0,5 n. Πόσο είναι το n; Το n στο δεξιά μέλος της εξίσωσης, πολλαπλασιάζεται με το 0,5 και θέλουμε να κάνουμε κάτι για να το αφήσουμε μόνο του. Να λύσουμε δηλαδή ως προς n. Πώς θα το κάνουμε αυτό; Αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 0,5. Και γιατί το 0,5; Μα γιατί 0,5 διά 0,5 κάνει 1 άρα δεξιά μας κάνει ένα n και αριστερά έχουμε 4,5 διά 0,5 άρα 4,5 διά 0,5 είναι ίσο με n. Τα 0,5 απλοποιούνται αφού 0,5 διά 0,5 κάνει 1. Και με τι είναι ίσο αυτό; Πόσο κάνει 4,5 διά 0,5; 45 δέκατα διά 5 δέκατα κάνει 9 ή πιο αλγβερικά αν πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή και τον παρανομαστή με έναν αριθμό τότε θα διώξουμε τις υποδιαστολές και θα κάνουμε πιο εύκολα την πράξη. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν και τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος με το 10 και θυμηθείτε εδώ, ότι δεν αλλάζουμε κάτι στην ισότητα αφού πολλαπλασιάζουμε με το 10/10 δηλαδή το 1. αφού πολλαπλασιάζουμε με το 10/10 δηλαδή το 1. Αυτός είναι και ο λόγος ότι δεν έχει καμία σημασία που πολλαπλασιάζουμε με το 10/10 μόνο το αριστερό μέλος της εξίσωσης και δεν το κάνουμε και δεξιά. Εμείς έχουμε μάθει ότι σε μία εξίσωση πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της ισότητας με τον ίδιο αριθμό. Άρα αφού πολλαπλασιάζουμε αριστερά με 10/10 θα έπρεπε κανονικά να πολλαπλασιάσουμε και δεξιά με το 10/10. Όμως όπως είπαμε, επειδή το 10/10 είναι ίσο με το 1 δεν έχει καμία διαφορά είτε πολλαπλασιάσουμε είτε όχι και δεξιά με το 10/10 αφού 10/10 κάνει 1 άρα πάλι μένει n. Επομένως χωρίς να παραβιάζεται κάτι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με το 10/10 μόνο αριστερά αφού στην ουσία πολλαπλασιάζουμε με το 1 και δεν αλλάζει τίποτα στην ισότητα που έχουμε. Το ίδιο ακριβώς είναι και η πρόσθεση με το 0. Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε το 0 στη μία πλευρά μίας ισότητας χωρίς να χρειάζεται να το κάνουμε και στην άλλη πλευρά αφού στην ουσία δεν αλλάζουμε πάλι κάποια ποσότητα σε κάποιο μέλος της εξίσωσης. Εδώ τελικά έχουμε καταλήξει ότι το 45/5 είναι ίσο με n δηλαδή 9 είναι ίσο με n, και αν το διαβάσουμε ανάποδα το n τελικά είναι ίσο με 9. Επαλήθευση. Το 4,5 είναι ίσο με 0,5 επί 9 γιατί όντως 9 επί 0,5 κάνει 4,5. Ας κάνουμε ένα τελευταίο παράδειγμα και ας πούμε ότι έχουμε ότι το g/4 ότι είναι ίσο με 3,2. Τι χρειάζεται να κάνουμε για να διώξουμε το 4 και να μείνει μόνο του το g; Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το 4. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν αριστερά με το 4, και επειδή διαιρούμε με το 4 κάνει 1 άρα μας μένει ένα g και δεξιά έχουμε 3,2 επί 4 που κάνει... 4 επί 3, 12 και 4 επί 2/10 κάνει 8/10 4 επί 3, 12 και 4 επί 2/10 κάνει 8/10 άρα όλο μαζί είναι 12 και 8/10 δηλαδή 12,8. To g τελικά είναι ίσο με 12,8 που αν κάνουμε και την επαλήθευση 12,8 διά 4 κάνει 3,2.