Όροι, παράγοντες & συντελεστές

Αυτό που θέλω να κάνουμε σε αυτό το βίντεο είναι να δούμε πως φτιάχνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις και τις λέξεις που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε τα διάφορα μέρη από τα οποία αποτελούνται. Και αυτό είναι αρκετά σημαντικό για να καταλάβουμε τι σημαίνει όταν ακούμε εκφράσεις όπως «δεύτερος όρος» της παράστασης, ή ότι ο τρίτος όρος της παράστασης έχει 4 «παράγοντες» ή ότι ο «συντελεστής» κάποιου όρου είναι ίσος με 6. Όλο αυτό είναι αρκετά σημαντικό για να καταλαβαίνουμε τι μας λένε και να μπορούμε να επικοινωνούμε χρησιμοποιώντας σωστά τη μαθηματική γλώσσα. Πάμε λοιπόν να δούμε τι ακριβώς εκφράζουνε αυτές οι λέξεις. Πάμε λοιπόν να δούμε τι ακριβώς εκφράζουν αυτές οι λέξεις. Έχουμε λοιπόν μία αλγεβρική παράσταση Έχουμε λοιπόν μία αλγεβρική παράσταση και το πρώτο πράγμα που βλέπουμε πάντα εύκολα είναι οι «όροι» της παράστασης. Όροι μίας παράστασης είναι τα μέρη εκείνα που προστίθενται ή αφαιρούνται μεταξύ τους. Άρα για παράδειγμα στην πρώτη παράσταση εδώ έχουμε τρία πράγματα που προσθέτονται και αφαιρούνται. Στον πρώτο όρο 2 επί 3, προστίθεται το 4, και στη συνέχεια αφαιρούμε το 7y. Άρα αυτή η παράσταση έχει 3 όρους. Ο πρώτος όρος είναι όπως είπαμε το 2 επί 3, ο δεύτερος όρος είναι το 4 και ο τρίτος όρος το 7y. και ο τρίτος όρος το 7y. Πάμε να δούμε τώρα τι είναι οι "παράγοντες". Παράγοντες, Παράγοντες, είναι το μέρη ενός όρου, που συνδέονται μεταξύ τους με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα ποιοί είναι οι παράγοντες του πρώτου όρου; Για παράδειγμα ποιοί είναι οι παράγοντες του πρώτου όρου; Ο πρώτος όρος είπαμε ότι είναι το 2 επί 3 άρα έχει δύο παράγοντες που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους άρα έχει δύο παράγοντες που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους το 2 και το 3. Ο δεύτερος όρος; Ο δεύτερος όρος έχει έναν μόνο παράγοντα, Ο δεύτερος όρος έχει έναν μόνο παράγοντα, το 4, και ο τρίτος όρος έχει δύο παράγοντες, το 7 και το y, που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους και φτιάχνουν το 7y. Ειδικότερα τώρα ο αριθμός 7 που πολλαπλασιάζεται με τη μεταβλητή y έχει ένα ιδιαίτερο όνομα και λέγεται «συντελεστής». Το 7 λοιπόν είναι ο συντελεστής του όρου και γενικότερα συντελεστής είναι το αριθμητικό μέρος ενός όρου. Εμείς εδώ έχουμε 7y. Aλλά είτε 7xy είχαμε είτε 7xyz^2 είχαμε ο συντελεστής του όρου θα ήταν πάλι το 7. ο συντελεστής του όρου θα ήταν πάλι το 7. Πάμε να κάνουμε και τις υπόλοιπες παραστάσεις που έχουμε εδώ, και σας προτείνω σε κάθε μία από αυτές, να κάνετε μία παύση στο βίντεο και να προσπαθήστε να βρείτε πόσους όρους έχει κάθε παράσταση, τους παράγοντες κάθε όρου και τους συντελεστές τους. Πάμε να κάνουμε το επόμενο μαζί. Βλέπουμε ότι έχουμε ένα άθροισμα τριών «πραγμάτων» άρα έχουμε τρεις όρους. Τον πρώτο όρο, το δεύτερο όρο και τον τρίτο όρο. Και κάθε ένας από αυτούς αποτελείται από δύο παράγοντες. Οι παράγοντες του πρώτου όρου είναι το 3 και το x, οι παράγοντες του δεύτερου όρου είναι το x και το y και οι παράγοντες του τρίτου όρου είναι το y και το z. Τι συντελεστές έχουμε; Θυμηθείτε ότι συντελεστές είπαμε ότι είναι το αριθμητικά μέρη των όρων άρα ο συντελεστής του πρώτου όρου είναι το 3. άρα ο συντελεστής του πρώτου όρου είναι το 3. άρα ο συντελεστής του πρώτου όρου είναι το 3. Ποιοί είναι όμως οι συντελεστές των άλλων δύο όρων; Εξαρτάται πως το βλέπουμε. Ένας τρόπος να το δούμε είναι να σκεφτούμε το xy ότι είναι ακριβώς το ίδιο με 1xy άρα θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο συντελεστής αυτού του όρου άρα θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο συντελεστής αυτού του όρου Η επόμενη παράσταση τώρα έχει αρκετό ενδιαφέρον. Αν τη δούμε συνολικά φαίνεται να έχει τρεις όρους. Αν τη δούμε συνολικά φαίνεται να έχει τρεις όρους. Αν τη δούμε συνολικά φαίνεται να έχει τρεις όρους. Ο πρώτος όρος είναι το xyz ο δεύτερος όρος είναι η παρένθεση x συν 1 επί y και ο τρίτος όρος είναι το 4x. Πόσους παράγοντες τώρα έχει ο πρώτος όρος; Ο πρώτος όρος έχει τρεις παράγοντες το x,το y και το z. Πόσους παράγοντες έχει ο δεύτερος όρος; Θα μπορούσαμε να πούμε ότι έχει δύο παράγοντες. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι έχει δύο παράγοντες. Δείτε τώρα λίγο ξανά τη μικρότερη αλγεβρική παράσταση μέσα στην παρένθεση. Δείτε τώρα λίγο ξανά τη μικρότερη αλγεβρική παράσταση μέσα στην παρένθεση. Δείτε, ότι πάλι μπροούμε να βρούμε πόσους όρους έχει αποτελείται από δύο όρους το x και το 1, αποτελείται από δύο όρους το x και το 1, και κάθε ένας από αυτούς τους όρους αποτελείται από έναν παράγοντα. Επομένως όταν μιλάμε για όρους και παράγοντες Επομένως όταν μιλάμε για όρους και παράγοντες είναι σημαντικό να προσδιορίζουμε ακριβώς την παράσταση στην οποία αναφερόμαστε. Για παράδειγμα όλη η παράσταση εδώ είπαμε ότι έχει τρεις όρους ένα, δύο, τρεις ένα, δύο, τρεις και η μικρότερη παράσταση μέσα στην παρένθεση... ενώ είναι παράγοντας ενός όρου, έχει επίσης μέσα της δύο άλλους όρους. Πάμε στο επόμενο. Πάμε στο επόμενο. Πόσους όρους έχει; Έχουμε 4 όρους. Έχουμε 4 όρους. Πρώτος, δεύτερος, τρίτος τέταρτος όρος. Πόσους παράγοντες έχει κάθε όρος; Ο πρώτος όρος έχει κάποιο ενδιαφέρον. Εμείς έχουμε πει ότι παράγοντας είναι το μέρος ενός όρου που συμμετέχει σε έναν πολλαπλασιασμό. Εδώ όμως διαιρούμε με το y. Θυμηθείτε όμως ότι διαίρεση με το y σημαίνει πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο του y. Άρα ο πρώτος όρος τελικά έχει τρεις παράγοντες. Το 3, το x και το 1/y. Aν πολλαπλασιάσουμε το 3, το x και το 1/y. φτιάχνουμε τομ όρο 3x προς y Αν πολλαπλασιάσουμε αυτά τα τρία μαζί φτιάχνουμε τον όρο 3x προς y που τι συντελεστή έχει; Μα φυσικά το 3. Πόσους παράγοντες τώρα έχει ο δεύτερος όρος; Εδώ μπορεί να σας έρθει να πείτε Εδώ μπορεί να σας έρθει να πείτε ότι αφού το 5 x^2 y είναι το ίδιο με 5 επί x, επί x, επί y, τότε εδώ έχουμε τέσσερις παράγοντες και έχετε και απόλυτο δίκιο. Εδώ όμως έχουμε κάνει μία σύμβαση και θεωρούμε ως παράγοντα όλη τη δύναμη του x. Επομένως εδώ τελικά έχουμε 3 παράγοντες. Το 5, το x στο τετράγωνο το y και συντελεστής... το 5. Άρα σύμφωνα με τη σύμβαση που έχουμε κάνει, πόσους παράγοντες έχει ο επόμενος όρος; Τρεις. Το x, το y στο τετράγωνο και το z εις την πέμπτη. Τέλος έχουμε και έναν όρο ακόμα, ένα σταθερό όρο που πόσους παράγοντες έχει; Φυσικά μόνο έναν το ίδιο το 1 που δεν πολλαπλασιάζεται με κάτι εκτός από τον εαυτό του.