If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Εάν είστε πίσω από ένα web φίλτρο, παρακαλούμε να βεβαιωθείτε ότι οι τομείς *. kastatic.org και *. kasandbox.org δεν είναι αποκλεισμένοι.

Κύριο περιεχόμενο

Εισαγωγή στην προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

Εξασκηθείτε στην αλλαγή της σειράς των παραγόντων σε προβλήματα πολλαπλασιασμού για να δούμε πώς επηρεάζει το προϊόν.

Ομαδοποίηση αριθμών

Αυτή η εικόνα εμφανίζει start color #01a995, 3, end color #01a995 σειρές με start color #e07d10, 2, end color #e07d10 κουκκίδες σε κάθε σειρά. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 για να αναπαραστήσουμε τον πίνακα.
Αυτή η εικόνα δείχνει τον ίδιο πίνακα start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 που αντιγράφηκε start color #7854ab, 4, end color #7854ab φορές.
Χρησιμοποιούμε την έκφραση left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab για να αναπαραστήσουμε τον πίνακα.
Αν μετρήσουμε τις κουκίδες, θα έχουμε συνολικά 24.

Αλλαγή της ομαδοποίησης

Θα έχουμε το ίδιο σύνολο, αν αλλάξουμε τις παρενθέσεις, έτσι ώστε οι αριθμοί να ομαδοποιούνται με διαφορετικό τρόπο;
Ας ανασυγκροτήσουμε τους αριθμούς έτσι ώστε το start color #e07d10, 2, end color #e07d10 και το start color #7854ab, 4, end color #7854ab να ομαδοποιηθούν μεταξύ τους: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε έναν πίνακα για να αντιπροσωπεύσουμε αυτή την έκφραση. Ας ξεκινήσουμε με start color #e07d10, 2, end color #e07d10 σειρές και με start color #7854ab, 4, end color #7854ab κουκίδες σε κάθε σειρά. Αυτός ο πίνακας δείχνει start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Τώρα πρέπει να αντιγράψουμε τον πίνακα start color #01a995, 3, end color #01a995 φορές για να αντιπροσωπεύσουμε την έκφραση start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Αν μετρήσουμε τις κουκίδες, εξακολουθούμε να έχουμε συνολικά 24.
Η ανασυγκρότηση δεν αλλάζει την απάντηση!
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

Προσεταιριστική ιδιότητα

Ο μαθηματικός κανόνας που μας επιτρέπει να ανασυγκροτήσουμε αριθμούς σε ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού χωρίς να αλλάξουμε την απάντηση είναι η προσεταιριστική ιδιότητα.
Ας ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς στο παρακάτω πρόβλημα πολλαπλασιασμού με δύο διαφορετικούς τρόπους, και ας δείξουμε ότι παίρνουμε το ίδιο γινόμενο και με τους δύο τρόπους.
5, times, 4, times, 2
Ας ξεκινήσουμε ομαδοποιώντας το start color #11accd, 5, end color #11accd και το start color #11accd, 4, end color #11accd μαζί. Μπορούμε να αξιολογήσουμε την έκφραση βήμα προς βήμα.
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
Τώρα ας ομαδοποιήσουμε το start color #7854ab, 4, end color #7854ab και το start color #7854ab, 2, end color #7854ab μαζί.
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Πήραμε το ίδιο γινόμενο, παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν με δύο διαφορετικούς τρόπους.
Και οι τρεις εκφράσεις είναι ίσες:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Ας δοκιμάσουμε μερικά προβλήματα

Πρόβλημα 1
Ποιες εκφράσεις είναι ίσες με 6, times, 3, times, 4;
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:

Τώρα ας προσπαθήσουμε να αξιολογήσουμε μια έκφραση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
Πρόβλημα 2
Συμπληρώστε τις πληροφορίες που λείπουν για να λύσετε την έκφραση left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, point
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • Η απάντησή σου έπρεπε να είναι
  • ενας ακέραιος, όπως το 6
  • ένα απλοποιημένο σωστο κλάσμα, όπως το 3, slash, 5
  • ένα απλοποιημένο καταχρηστικό κλάσμα, όπως το 7, slash, 4
  • ένας μεικτός αριθμός, όπως το 1, space, 3, slash, 4
  • ένας ακριβής δεκαδικός, όπως το 0, point, 75
  • ένα πολλαπλάσιο του π, όπως το 12, space, start text, p, i, end text ή το 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • Η απάντησή σου έπρεπε να είναι
  • ενας ακέραιος, όπως το 6
  • ένα απλοποιημένο σωστο κλάσμα, όπως το 3, slash, 5
  • ένα απλοποιημένο καταχρηστικό κλάσμα, όπως το 7, slash, 4
  • ένας μεικτός αριθμός, όπως το 1, space, 3, slash, 4
  • ένας ακριβής δεκαδικός, όπως το 0, point, 75
  • ένα πολλαπλάσιο του π, όπως το 12, space, start text, p, i, end text ή το 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Τώρα λύστε την ίδια έκφραση που έχει ομαδοποιηθεί με διαφορετικό τρόπο.
Πρόβλημα 3
Συμπληρώστε τις πληροφορίες που λείπουν για να λύσετε την έκφραση 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • Η απάντησή σου έπρεπε να είναι
  • ενας ακέραιος, όπως το 6
  • ένα απλοποιημένο σωστο κλάσμα, όπως το 3, slash, 5
  • ένα απλοποιημένο καταχρηστικό κλάσμα, όπως το 7, slash, 4
  • ένας μεικτός αριθμός, όπως το 1, space, 3, slash, 4
  • ένας ακριβής δεκαδικός, όπως το 0, point, 75
  • ένα πολλαπλάσιο του π, όπως το 12, space, start text, p, i, end text ή το 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • Η απάντησή σου έπρεπε να είναι
  • ενας ακέραιος, όπως το 6
  • ένα απλοποιημένο σωστο κλάσμα, όπως το 3, slash, 5
  • ένα απλοποιημένο καταχρηστικό κλάσμα, όπως το 7, slash, 4
  • ένας μεικτός αριθμός, όπως το 1, space, 3, slash, 4
  • ένας ακριβής δεκαδικός, όπως το 0, point, 75
  • ένα πολλαπλάσιο του π, όπως το 12, space, start text, p, i, end text ή το 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 και
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Πήραμε το ίδιο γινόμενο, παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ισοδύναμες εκφράσεις

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα για να βρούμε εκφράσεις που είναι ισοδύναμες.
Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση 2, times, 2, times, 5.
Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε αυτή την έκφραση με δύο τρόπους που είναι και οι δύο ισοδύναμοι με 2, times, 2, times, 5:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
Αξιολογώντας κάθε έκφραση βήμα προς βήμα μπορούμε να βρούμε άλλες εκφράσεις που είναι επίσης ισοδύναμες.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Έτσι, η αρχική μας έκφραση, 2, times, 2, times, 5, είναι επίσης ισοδύναμη με 4, times, 5 and 2, times, 10.
Πρόβλημα 4
Ποιες εκφράσεις είναι ισοδύναμες με 8, times, 2, times, 4;
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:

Γιατί ανασυγκρότηση;

Η ανασυγκρότηση μπορεί να διευκολύνει την επίλυση ενός προβλήματος πολλαπλασιασμού.
Ας δούμε την έκφραση, 4, times, 4, times, 5.
Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε την έκφραση με δύο τρόπους:
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Εάν αξιολογήσουμε την πρώτη έκφραση βήμα προς βήμα, παίρνουμε: left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Εάν αξιολογήσουμε τη δεύτερη έκφραση βήμα προς βήμα, παίρνουμε: 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Ίσως είναι ευκολότερο να βρείτε το γινόμενο του 4, times, 20 από οτι το 16, times, 5.
Παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν διαφορετικά, και οι δύο εκφράσεις έχουν το ίδιο γινόμενο.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

Ας δοκιμάσουμε ένα πρόβλημα

Πρόβλημα 5
Πώς μπορούμε να ομαδοποιήσουμε την έκφραση 2, times, 3, times, 9;
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:
Επιλέξετε όλες τις απαντήσεις που ισχύουν:

Πρόβλημα 6
Αν δεν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε έναν διψήφιο αριθμό για να πάρουμε το τελικό γινόμενο, πώς πρέπει να ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς;
Επιλέξτε 1 απάντηση:
Επιλέξτε 1 απάντηση: