Εισαγωγή στην προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

Αυτή η εικόνα εμφανίζει $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 σειρές με $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 κουκκίδες σε κάθε σειρά. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 για να αναπαραστήσουμε τον πίνακα.

Αυτή η εικόνα δείχνει τον ίδιο πίνακα $\tealD{3} \times \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 που αντιγράφηκε $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab φορές.

Χρησιμοποιούμε την έκφραση $(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}$left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab για να αναπαραστήσουμε τον πίνακα.

Αν μετρήσουμε τις κουκίδες, θα έχουμε συνολικά $24$24.

Θα έχουμε το ίδιο σύνολο, αν αλλάξουμε τις παρενθέσεις, έτσι ώστε οι αριθμοί να ομαδοποιούνται με διαφορετικό τρόπο;

Ας ανασυγκροτήσουμε τους αριθμούς έτσι ώστε το $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 και το $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab να ομαδοποιηθούν μεταξύ τους: $\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε έναν πίνακα για να αντιπροσωπεύσουμε αυτή την έκφραση. Ας ξεκινήσουμε με $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 σειρές και με $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab κουκίδες σε κάθε σειρά. Αυτός ο πίνακας δείχνει $\goldD{2} \times\purpleD{4}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

Τώρα πρέπει να αντιγράψουμε τον πίνακα $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 φορές για να αντιπροσωπεύσουμε την έκφραση $\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Αν μετρήσουμε τις κουκίδες, εξακολουθούμε να έχουμε συνολικά $24$24.

Η ανασυγκρότηση δεν αλλάζει την απάντηση!

Ο μαθηματικός κανόνας που μας επιτρέπει να ανασυγκροτήσουμε αριθμούς σε ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού χωρίς να αλλάξουμε την απάντηση είναι η προσεταιριστική ιδιότητα.

Ας ομαδοποιήσουμε τους αριθμούς στο παρακάτω πρόβλημα πολλαπλασιασμού με δύο διαφορετικούς τρόπους, και ας δείξουμε ότι παίρνουμε το ίδιο γινόμενο και με τους δύο τρόπους.

Ας ξεκινήσουμε ομαδοποιώντας το $\blueD{5}$start color #11accd, 5, end color #11accd και το $\blueD{4}$start color #11accd, 4, end color #11accd μαζί. Μπορούμε να αξιολογήσουμε την έκφραση βήμα προς βήμα.

Τώρα ας ομαδοποιήσουμε το $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab και το $\purpleD{2}$start color #7854ab, 2, end color #7854ab μαζί.

Πήραμε το ίδιο γινόμενο, παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Και οι τρεις εκφράσεις είναι ίσες:
$\phantom{=}5 \times 4 \times 2$empty space, 5, times, 4, times, 2
$=(\blueD{5 \times 4}) \times 2$equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
$=5 \times (\purpleD{4 \times 2})$equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Τώρα ας προσπαθήσουμε να αξιολογήσουμε μια έκφραση με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Τώρα λύστε την ίδια έκφραση που έχει ομαδοποιηθεί με διαφορετικό τρόπο.

$(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30$left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 και
$3 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30$3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30

Πήραμε το ίδιο γινόμενο, παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσεταιριστική ιδιότητα για να βρούμε εκφράσεις που είναι ισοδύναμες.

Ας ξεκινήσουμε με την έκφραση $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5.

Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε αυτή την έκφραση με δύο τρόπους που είναι και οι δύο ισοδύναμοι με $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5:

Αξιολογώντας κάθε έκφραση βήμα προς βήμα μπορούμε να βρούμε άλλες εκφράσεις που είναι επίσης ισοδύναμες.

Έτσι, η αρχική μας έκφραση, $2 \times 2 \times 5$2, times, 2, times, 5, είναι επίσης ισοδύναμη με $4 \times 5$4, times, 5 and $2 \times 10$2, times, 10.

Η ανασυγκρότηση μπορεί να διευκολύνει την επίλυση ενός προβλήματος πολλαπλασιασμού.

Ας δούμε την έκφραση, $4 \times 4 \times 5$4, times, 4, times, 5.

Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε την έκφραση με δύο τρόπους:

Εάν αξιολογήσουμε την πρώτη έκφραση βήμα προς βήμα, παίρνουμε: $(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5$left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5

Εάν αξιολογήσουμε τη δεύτερη έκφραση βήμα προς βήμα, παίρνουμε: $4 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}$4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab

Ίσως είναι ευκολότερο να βρείτε το γινόμενο του $4 \times 20$4, times, 20 από οτι το $16 \times 5$16, times, 5.

Παρόλο που οι αριθμοί ομαδοποιήθηκαν διαφορετικά, και οι δύο εκφράσεις έχουν το ίδιο γινόμενο.