Αρνητικοί αριθμοί: πρόσθεση και αφαίρεση Συχνές ερωτήσεις

Δεν υπάρχει μια σαφή απάντηση στο ερώτημα πού και πότε οι άνθρωποι άρχισαν να χρησιμοποιούν αρνητικούς αριθμούς, καθώς διαφορετικές κουλτούρες μπορεί να τους συνάντησαν ή να τους ανάπτυξαν ανεξάρτητα η μια απο την αλλη, και τα ιστορικά δεδομένα είναι αποσπασματικά, αμφίσημα ή και αντικρουόμενα. Πάντως, εδώ έχουμε μερικά σημαντικά ορόσημα στην ιστορία των αρνητικών αριθμών.

Η αρχαιότερη γνωστή χρήση αρνητικών αριθμών σε μαθηματικό περιέχόμενο είναι σε ένα κινέζικο κείμενο Jiuzhang Suanshu (Εννέα κεφάλαια στην Τέχνη των Μαθηματικών), που χρονολογείται απο $1^{\text{ο}}$‍ ή $2^{\text{ο}}$‍ αιώνα π.Χ., και περιέχει προβλήματα σχετικά με χρέη και πλεονάσματα που εμφανίζονται με μαύρες και άσπρες ράβδους μέτρησης αντίστοιχα. Το κείμενο περιλαμβάνει επίσης κανόνες για τον μετασχηματισμό θετικών και αρνητικών αριθμών, όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, και διαίρεση, καθώς και την εύρεση των τετραγωνικών ριζών τους.

Ο Ινδός μαθηματικός Brahmagupta ($7^{\text{ος}}$‍ αιώνας π.Χ.) ήταν από τους πρώτους που θεώρησαν του αρνητικούς αριθμούς ως έγκυρους αριθμούς, και τους έδωσε κανόνες για την αριθμητική τους, συμπεριλαμβανομένου του γινομένου δυο αρνητικών αριθμών που δίνει ως αποτέλεσμα θετικό αριθμό. Χρησιμοποίησε επίσης αρνητικούς αριθμούς για να εκφράσει λύσεις σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις, και να υποδείξει την διεύθυνση της κίνησης ουρανίων σωμάτων. Πάντως, δεν δέχτηκε τους αρνητικούς αριθμούς ως συντελεστές σε εξισώσεις, και θεωρούσε το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς ως μη-αριθμούς ή ως το κενό σε κάποιες πειρπτώσεις.

Η αριθμητική γραμμή είναι ένα πραγματικά χρήσιμο οπτικό εργαλείο για την εργασία με αρνητικούς αριθμούς. Κάθε φορά που προσθέτουμε έναν αρνητικό αριθμό, μετακινούμαστε αριστερά στην αριθμογραμμή και όποτε προσθέτουμε έναν θετικό αριθμό, μετακινούμαστε δεξιά. Για την αφαίρεση κινούμαστε προς την αντίθετη κατεύθυνση! Τότε το άθροισμα ή η διαφορά είναι ο τελικός αριθμός που φτάνουμε στην αριθμογραμμή .

Μπορούμε επίσης να αφαιρέσουμε βρίσκοντας και τους δύο αριθμούς στην αριθμογραμμή. Τότε η απόσταση μεταξύ αυτών των αριθμών είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς. Για παράδειγμα, αν έχουμε την έκφραση $-7-(-9)$‍, βλέπουμε ότι το $-7$‍ και το $-9$‍ είναι $2$‍ μακριά στην αριθμογραμμή. Οπότε $|-7-(-9)|=2$‍.

Δοκιμάστε και μόνοι σας Πρόσθεση αρνητικών αριθμών στην αριθμογραμμή.

Βάζουμε παρενθέσεις γύρω από αρνητικούς αριθμούς όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε για να μας βοηθήσουν να αποφύγουμε τα λάθη.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αφαιρέσουμε το $-2$‍ από το $5$‍, μπορούμε να το γράψουμε ως $5-(-2)$‍. Βάζοντας παρενθέσεις γύρω από το $-2$‍, μπορούμε να δούμε πιο καθαρά ότι αφαιρούμε έναν αρνητικό αριθμό, όχι απλώς ότι αφαιρούμε $2$‍.

Αυτό μπορεί να είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν έχουμε να κάνουμε με πολλούς αρνητικούς αριθμούς σε μία εξίσωση. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αφαιρέσουμε το $-2$‍ από το $-7$‍, μπορούμε να το γράψουμε ως $-7-(-2)$‍. Και πάλι, οι παρενθέσεις μας βοηθούν να δούμε ότι αφαιρούμε έναν αρνητικό αριθμό, πράγμα που θα κάνει την απάντησή μας μεγαλύτερη.

Έτσι, με λίγα λόγια, οι παρενθέσεις μπορούν να μας βοηθήσουν να αποφύγουμε λάθη και να κάνουμε τις εξισώσεις πιο σαφείς.

Η πρόσθεση είναι πραγματικά ευέλικτη. Η αντιμεταθετική ιδιότητα λέει ότι μπορούμε να προσθέσουμε αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά και να πάρουμε το ίδιο άθροισμα. Έτσι μπορούμε να επιλέξουμε ποιοι αριθμοί ταιριάζουν πιο εύκολα. Η προσεταιριστική ιδιότητα λέει ότι μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τις προσθέσεις με οποιονδήποτε τρόπο και να πάρουμε το ίδιο άθροισμα.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν δούλεψε με την αφαίρεση.

Αυτό σήμαινε ότι κολλήσαμε όταν θέλαμε να απλοποιήσουμε εκφράσεις με αφαίρεση όπως $-8a+2b-5a$‍.

Ένα υπέροχο πράγμα σχετικά με την εργασία με αρνητικούς αριθμούς είναι ότι μπορούμε να ξαναγράψουμε όλες τις αφαιρέσεις ως πρόσθεση του αντίθετου. Τώρα που χρησιμοποιούμε απλώς πρόσθεση , μπορούμε να αντιμεταθέσουμε τους όρους!

Το κλειδί ήταν ότι το αρνητικό σύμβολο πήγε μαζί με τους όρους.

Το να ξαναγράψουμε την αφαίρεση ως πρόσθεση του αντίθετου μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε και τη προσεταιριστική ιδιότητα. Αντί να χρειάζεται να προσθέτουμε και να αφαιρούμε από τα αριστερά προς τα δεξιά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όποιες ομάδες διευκολύνουν το άθροισμα.

Με την εξάσκηση, μπορούμε να κάνουμε το βήμα της επανεγγραφής ως προσθήκη διανοητικά αντί στο χαρτί, αλλά φροντίστε πρώτα να είναι εντάξει στην τάξη σας.

Δοκιμάστε το μόνοι σας με την άσκηση Ισοδύναμες εκφράσεις με αρνητικούς αριθμούς.