Διαισθητικός υπολογισμός τιμής παράστασης

Αυτό που θέλω να κάνουμε σε αυτό το βίντεο είναι να δούμε πως αλλάζει η τιμή μίας παράστασης όταν αλλάζει η τιμή της μεταβλητής. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με μία πιο απλή παράσταση και ας πούμε ότι έχουμε το 100 - x. Αυτό που θέλουμε να δούμε, είναι πως μεταβάλλεται, η τιμή της παράστασης όταν x αυξάνεται (μεγαλώνει). Αν λοιπόν αυξήσουμε το x τι θα κάνει η παράσταση και δείτε αν μπορείτε να απαντήσετε μόνοι σας. Κάντε μία παύση στο βίντεο και προσπαθήστε να δείτε πως μεταβάλλεται η παράσταση όσο αυξάνεται το x. Ωραία πάμε να το δούμε και μαζί. Εμείς έχουμε 100 και αφαιρούμε από αυτό x. Όσο λοιπόν μεγαλώνει το x αφαιρούμε από το 100 κάτι μεγαλύτερο άρα η τελική τιμή της παράστασης θα μειώνεται δηλαδή θα μικραίνει. Άρα όλη αυτή η παράσταση αυτή τελικά μικραίνει και πάμε να το δούμε και με μερικές τιμές. και πάμε να το δούμε και με μερικές τιμές. Θα κάνουμε ένα μικρό πίνακα τιμών με τιμές του x και τις αντίστοιχες τιμές της παράστασης 100 - x. Θα βάλουμε μερικές τυχαίες τιμές στο x που να αυξάνονται ας πούμε ότι βάζουμε το 0, το 50 και το 100. Όταν το x λοιπόν είναι 0 το 100 - x είναι ίσο με 100 - 0 που κάνει 100, όταν το x είναι 50, το 100 - x είναι 100 - 50 που κάνει 50 και όταν το x είναι 100, 100 - 100 κάνει 0. Βλέπουμε λοιπόν στην πρώτη στήλη ότι ενώ οι τιμές του x μεγαλώνουν, ότι ενώ οι τιμές του x μεγαλώνουν, στη δεύτερη στήλη, οι τιμές του 100 - x, μικραίνουν. Ας κάνουμε μερικά παραδείγματα ακόμα και με άλλες παραστάσεις. Ας πούμε λοιπόν ότι έχουμε την παράσταση 5/x + 5 και εδώ θα βάλουμε το x να μειώνεται. Κάτι σημαντικό επίσης που ξέρουμε είναι ότι το x είναι θετικός αριθμός. Μικραίνει δηλαδή αλλά παραμένει συνεχώς πάνω από το 0. Μικραίνει δηλαδή αλλά παραμένει συνεχώς πάνω από το 0. Το x δηλαδή εδώ θα μπορούσε να παίρνει τιμές από το 10 στο 9 από το 1 εκατομμύριο στις 100.000 με την προϋπόθεση όμως ότι παραμένει συνεχώς θετικός αριθμός. Για να δούμε. Διαιρούμε λοιπόν συνεχώς με κάτι μικρότερο. Όσο λοιπόν παίρνουμε μικρότερες τιμές του x στον παρανομαστή του κλάσματος τότε διαιρούμε με μικρότερες τιμές άρα το κλάσμα μεγαλώνει. Και επειδή μετά απλά προσθέτουμε το 5 Και επειδή μετά απλά προσθέτουμε το 5 τότε γενικά και όλη η παράσταση θα μεγαλώνει. Πάμε να το δούμε και σε έναν πίνακα τιμών. Πάμε να το δούμε και σε έναν πίνακα τιμών. Βάζουμε λοιπόν x και 5/x + 5 και θα βάλω μερικές τυχαίες τιμές στο x. Θα βάλουμε στο x το 100, το 5 και το 1 Θα βάλουμε στο x το 100, το 5 και το 1 και είναι ξεκάθαρο τώρα ότι οι τιμές του x μικραίνουν. και είναι ξεκάθαρο τώρα ότι οι τιμές του x μικραίνουν. Όταν το x τώρα είναι 100 έχουμε 5 διά 100 που είναι ίσο με 5 εκατοστά, συν 5, άρα 5,05. Όταν το x είναι 5 έχουμε 5 διά 5, κάνει 1μ συν 5, 6, έχουμε 5 διά 5, κάνει 1μ συν 5, 6, έχουμε 5 διά 5, κάνει 1 συν 5, 6, και τέλος όταν το x είναι ίσο με 1 διαιρούμε το 5 με το 1 που κάνει 5 συν 5, 10. Δείτε τώρα τις τιμές του x στην πρώτη στήλη ότι μειώνονται ενώ οι τιμές της παράστασης στη δεύτερη στήλη αυξάνονται. Ας κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα και ας πούμε ότι έχουμε την παράσταση 3y διά 2y και θέλουμε να δούμε 3y διά 2y και θέλουμε να δούμε τι θα συμβεί στην τιμή της παράστασης όταν το y μεγαλώνει. Εδώ τώρα βλέπουμε ότι όταν το y μεγαλώνει Εδώ τώρα βλέπουμε ότι όταν το y μεγαλώνει μεγαλώνει ο αριθμητής αλλά μεγαλώνει και ο παρανομαστής. Αυτήν την παράσταση τώρα θα μπορούσαμε να τη γράψουμε και ως 3/2 επί y/y. Εδώ τώρα καλό είναι να θεωρήσουμε ότι το y>0 και δεν μπορεί να είναι ίσο με το 0 γιατί τότε θα είχαμε στον παρανομαστή του κλάσματος 0 και εμείς ξέρουμε ότι δεν μπορούμε να διαιρούμε με το 0 άρα το y δεν μπορεί αν είναι 0. Ας πούμε λοιπόν ότι το y μεγαλώνει στα θετικά και αφού διαιρούμε το y με το y τότε σίγουρα κάνει 1. Επομένως εδώ λοιπόν δεν έχει σημασία τι τιμές παίρνει το y αφού και 1 εκατομμύριο να βάλουμε διά 1 εκατομμύριο πάλι 1 θα είναι. Αν το y είναι 5, 5 διά 5 κάνει κ.ο.κ. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η τιμή της παράστασης δεν αλλάζει και παραμένει συνεχώς ίση με 3/2. Αλλάζει το y αλλά η τιμή της παράστασης παραμένει σταθερή.