Εισαγωγή στο λόγο δύο μεγεθών

Έχουμε κάποια μήλα, και κάποια πορτοκάλια και θέλουμε να βρούμε το λόγο των μήλων προς τα πορτοκάλια. Για να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τι ψάχνουμε, να υπενθυμίσουμε, ότι λόγος είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη σύγκριση 2 μεγεθών. Σκεφτόμαστε λοιπόν πολύ απλά. Μπορούμε να μετρήσουμε απλά τα μήλα 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 μήλα, και να πούμε ότι ο λόγος των μήλων προς τα πορτοκάλια θα είναι, 6 προς...πόσα πορτοκάλια έχουμε; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 6 λοιπόν προς 9. Ο λόγος λοιπόν των μήλων προς τα πορτοκάλια είναι 6 προς 9. Το λόγο αυτόν τον γράφουμε με διαίρεση. Γράφεται λοιπόν, 6 διά ... 9. Γενικά όταν μιλάμε για λόγους ειδικά όταν έχουμε να κάνουμε με πορτοκάλια και μήλα στην ουσία συγκρίνουμε τις ποσότητες τους, δηλαδή πόσα μήλα έχουμε στα πόσα πορτοκάλια. Αν το δούμε όμως έτσι, τότε ίσως μπορούμε να μειώσουμε κι άλλο τις αρχικές ποσότητες χωρίς να αλλάξει η σύγκριση. Το 6 και το 9 διαιρούνται με το 3 άρα όπως κάνουμε απλοποίηση κλασμάτων έτσι μπορούμε να κάνουμε και απλοποίηση λόγων. Αν διαιρέσουμε λοιπόν το 6 και το 9 με το 3 6 διά 3 κάνει 2, και 9 διά 3 κάνει 3 άρα ο αρχικός λόγος που είχαμε μήλα προς πορτοκάλια μπορεί να γραφτεί και 2 προς 3. Συμβολικά 2:3 2 προς 3. Έχει τώρα νόημα όλο αυτό; Έχει τώρα νόημα όλο αυτό; Για να δούμε. Διαιρέσαμε στην ουσία κάθε ομάδα που είχαμε, με το 3 άρα χωρίσαμε όλη αυτήν τη μεγάλη ομάδα σε 3 ίσες ομάδες. 1 ομάδα 2 ομάδες 3 ομάδες. Βλέπουμε τώρα ότι σε κάθε τέτοια ομάδα, έχουμε 2 μήλα Βλέπουμε τώρα ότι σε κάθε τέτοια ομάδα, έχουμε 2 μήλα και 3 πορτοκάλια. 2 μήλα με 3 πορτοκάλια, 2 μήλα με 3 πορτοκάλια. Επομένως λοιπόν ο λόγος μήλα προς πορτοκάλια είναι 2 προς 3, 2 μήλα ανά 3 πορτοκάλια. Μπορούμε τώρα να το δούμε και ανάποδα. Ποιός είναι ο λόγος... πορτοκάλια προς μήλα; Εδώ τα μήλα προς τα πορτοκάλια είπαμε πως είναι 6 προς 9, ή αφού απλοποιήσουμε, 2 προς 3. Άρα ο λόγος των πορτοκαλιών προς τα μήλα αλλάζουμε απλά τη θέση των 2 αυτών αριθμών και έχουμε 9 πορτοκάλια κάθε 6 μήλα άρα 9 προς 6. άρα 9 προς 6. Αν θέλουμε πάλι να απλοποιήσουμε με το 3 διαιρούμε με το 3 άρα κάθε 3 πορτοκάλια έχουμε 2 μήλα. Παρατηρήστε λοιπόν ότι όταν είχαμε μήλα προς πορτοκάλια ήταν 6 προς 9 6 μήλα προς 9 πορτοκάλια ενώ τώρα έχουμε 9 προς 6, 9 πορτοκάλια προς 6 μήλα. Οι δύο λόγοι αυτοί είναι αντίστροφοι μεταξύ τους.