Παραδείγματα Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη

Μας ρωτάνε: Ποιός είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) του 20 και του 40; Και ένας άλλος να το συμβολίσουμε αυτό είναι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των 20 και 40 σε παρένθεση. Και ενώ το όνομα Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης φαίνεται σύνθετο στην ουσία λέει ακριβώς αυτό που είναι. Ο μεγαλύτερος κοινός αριθμό που διαιρεί και το 20 και το 40. Εδώ τώρα νομίζω ότι τα πράγματα είναι πιο απλά αφού το 20 διαιρεί το 40 ή αλλιώς το 40 διαιρείται από το 20 άρα ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι το ίδιο το 20. Το 20 είναι 1 φορά το 20 και το 40 είναι 2 φορές το 20. Σε αυτήν την περίπτωση λοιπόν τα πράγματα είναι απλά. Απαντάμε λοιπόν, 20. Ας κάνουμε μερικά παραδείγματα ακόμα. Μας ρωτάνε: "Ποιός είναι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης του 10 και του 7;" Πάμε να το δούμε σε ένα πρόχειρο. Θέλουμε λοιπόν το ΜΚΔ του 10 και του 7. Ας το γράψουμε. ΜΚΔ 10 και 7 και μπορούμε να το σκεφτούμε με δύο τρόπους. Ο ένα τρόπος είναι να γράψουμε απλά όλους τους διαιρέτες αυτών των δύο αριθμών και να βρούμε τελικά ποιος είναι ο μεγαλύτερος κοινός τους διαιρέτης. Το 10 για παράδειγμα αφού γράφεται ως 10 επί 1 και 2 επί 5 οι διαιρέτες του τελικά είναι το 1, το 2, το 5 και το 10. Όλοι αυτοί οι αριθμοί διαιρούν το 10 ακριβώς. Το 7 τώρα είναι πρώτος αριθμός άρα οι μοναδικοί διαιρέτες που έχει το 1 και ο εαυτός του, δηλαδή το 7. Ποιός είναι λοιπόν ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης αυτών των δύο; Μα αφού έχουν μοναδικό κοινό διαιρέτη το 1 τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1. Ας το γράψουμε. Πάμε να κάνουμε ένα παράδειγμα ακόμα. Ποιός είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 21 και του 30; Ψάχνουμε λοιπόν, το μέγιστο κοινό διαιρέτη του 21 και του 30. Ας το δούμε τώρα και με τους δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι όπως κάναμε και προηγουμένως να γράψουμε απλά όλους τους διαιρέτες των αριθμών. Πάμε να το κάνουμε. Ποιοί είναι οι διαιρέτες του 21; Είναι σίγουρα το 1 και ο εαυτός του 21, το 3 και το 7. Αυτοί είναι όλοι κι όλοι. Το 30 τώρα μπορεί να γραφτεί ως 1 επί 30, 2 επί 15 3 επί 10 και 5 επί 6. Άρα αυτοί εδώ είναι και οι διαιρέτες του 30. Ποιοί είναι τώρα οι κοινοί τους διαιρέτες; Έχουν σίγουρα κοινό διαιρέτη το 1 αλλά έχουν κοινό διαιρέτη και το 3. Επομένως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους, δηλαδή ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης που έχουν είναι φυσικά το 3. Απαντάμε λοιπόν 3 και πάμε να το δούμε και με τον άλλο τρόπο. Εδώ τώρα θα κάνουμε ανάλυση των αριθμούς μας σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Η ανάλυση του 21 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων αφού διαιρείται με το 3 είναι 3 επί 7. Η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων του 30 είναι 3 επί 10 και το 10 είναι ίσο με 2 επί 5. Ποιοί είναι τώρα οι περισσότεροι κοινοί διαιρέτες που μπορούμε να πάρουμε από το 21 και το 30; Μα αν δούμε τις αναλύσεις των δύο αυτών αριθμών ο μόνος κοινός διαιρέτης που έχουν είναι το 3. Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το 3. Αν τώρα σε αυτά τα γινόμενα πρώτων παραγόντων δεν υπάρχει τίποτα κοινό τότε ο ΜΚΔ αριθμών είναι το 1 και οι αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. Ας κάνουμε τώρα ένα παράδειγμα ακόμα για να εμπεδώσουμε λίγο καλύτερα. Ας πούμε τώρα ότι θέλουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των 105 και 30. Πάμε να αναλύσουμε τους αριθμούς μας σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και μάλιστα δείτε τώρα ότι αν ψάχναμε τους διαιρέτες του 105 όπως κάναμε στον πρώτο τρόπο θα μας δυσκολέψει αρκετά. Η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι πιο απλή. Το 105 λοιπόν διαιρείται σίγουρα από το 5 και είναι ίσο με 5 επί 21. Το 21 τώρα είναι ίσο με 3 επί 7 άρα η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων του 105 είναι ίση με 3 επί 5 επί 7. Το γινόμενο πρώτων παραγόντων του 30 το έχουμε ήδη βρει και είναι ίσο με 2 επί 3 επί 5. Ποιοί είναι τώρα οι κοινοί διαιρέτες τους, ή αλλιώς όλοι οι πρώτοι κοινοί διαιρέτες που έχουν; Λοιπόν, και οι δύο αριθμοί έχουν διαιρέτες το 3 και το 5 άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το γινόμενο 3 επί 5. Ο Μέγιστος Κοινός διαιρέτης του 30 και του 105 τελικά είναι ίσος με 3 επί 5, που κάνει 15. Είδαμε λοιπόν δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να γράψουμε όλους τους διαιρέτες των αριθμών και να βρούμε το μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους και ο άλλος τρόπος είναι αναλύσουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη παίρνοντας το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων διαιρετών τους.