Long trig sub problem

... Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το αόριστο ολοκλήρωμα της τετραγωνικής ρίζας του 6x μείον x τετράγωνο μείον 5. Και προφανώς αυτό δεν είναι κάποιο απλό ολοκλήρωμα. Ξέρετε, δεν έχω απλά αυτήν την παράσταση και την παράγωγό της να κάθονται κάπου εδώ γύρω, οπότε η αντικατάσταση με u δεν θα δουλέψει. Και έτσι μπορείτε να μαντέψετε και μόνο από τον τίτλο του βίντεο ότι θα πρέπει να κάνουμε κάτι πιο ψαγμένο. Και μάλλον θα πρέπει να κάνουμε κάποια τριγωνομετρική αντικατάσταση Αλλά αυτό δεν μοιάζει αμέσως να δέχεται κάποια τριγωνική αντικατάσταση. Μ' αρέσει να κάνω τριγωνομετρική αντικατάσταση όταν βλέπω κάτι σαν 1 μείον x τετράγωνο κάτω από ρίζα, ή ίσως ένα x τετράγωνο μείον 1 κάτω από ρίζα, ή ίσως ένα x τετράγωνο συν 1. Αυτού του τύπου τα πράγματα με κάνουν να σκέφτομαι προς κάποια τριγωνομετρική αντικατάσταση. Αλλά αυτό δεν μοιάζει καθόλου με αυτά, ακόμα. Έχω μία ρίζα. Έχω κάποιο x τετράγωνο, αλλά δεν έχει αυτή τη μορφή. Άρα ας δούμε αν μπορούμε να το φέρουμε σε αυτή τη μορφή. Ας διαγράψω αυτά εδώ λίγο γρήγορα. Ας δούμε, λοιπόν, αν μπορούμε μήπως να συμπληρώσουμε αυτό το τετράγωνο εδώ κάτω. Ας δούμε. Αν αυτό ισούται με - ας το ξαναγράψω- (και αν αυτή η συμπλήρωση τετραγώνου δεν σας μοιάζει γνωστή έχω κάποια βίντεο γι' αυτή) ας το ξαναγράψω αυτό ως ίσο με -5 μείον -θελω κι άλλο χώρο εδώ- μείον 5 μείον χ τετράγωνο. Τώρα υπάρχει ένα "συν 6x", αλλά έχω ένα μείον εδώ έξω. Άρα μείον 6x, σωστά; Δύο "μείον" θα μας δόσουν "συν 6x". Και μετά, θέλω να μετατρέψω αυτό εδώ σε ένα τέλειο τετράγωνο. Οπότε ποιον αριθμό αν τον προσθέσω στον εαυτό του θα κάνει μείον 6; Ε, είναι το μείον 3 άρα θα βάλω το μείον 3 στο τετράγωνο. Παίρνεις το μισό αυτού του αριθμού, που ειναι μείον 3 και το υψώνεις στο τετράγωνο. Βάζεις ένα 9 εδώ. Δεν μπορώ βέβαια να προσθέτω αυθαίρετα εννιάρια. Ή μάλλον, δεν πρόσθεσα 9 εδώ. Τι έκανα; Αφαίρεσα 9. γιατί έβαλα ένα 9 εκεί, αλλά είναι στην πραγματικότητα μείον 9 από αυτό το μείον εδώ έξω. Οπότε για να είμαι εντάξει με το 9 που έβαλα εκεί μέσα, που είναι μείον 9, πρέπει να προσθέσω 9. Ας το κάνω. Συν 9, ακριβώς εδώ. Αν δεν καταλάβατε τι έκανα μόλις τώρα --και φυσικά έχουμε το dx εκεί-- κάντε την επιμεριστική. Είναι μείον x τετράγωνο συν 6x, που είναι αυτοί οι δύο όροι, μείον 9, και μετά έχουμε αυτό το συν 9 και αυτά απαλείφονται, κι έτσι γυρνάμε σε αυτό που είχαμε πριν. Γιατί θέλω να καταλάβετε ότι δεν άλλαξα την εξίσωση. Αυτό είναι μείον 9 εξ' αιτίας αυτού. Γι' αυτό πρόσθεσα 9, οπότε τελικά του πρόσθεσα 0. Αλλά αυτό που γίνεται είναι ότι παίρνει μια μορφή που μ' αρέσει. Προφανώς αυτό εδώ γίνεται απλώς 4 και μετά αυτός ο όρος τι γίνεται; Είναι x μείον 3 στο τετράγωνο. x μείον 3 στο τετράγωνο. Οπότε το αόριστό μου ολοκλήρωμα τώρα γίνεται το ολοκλήρωμα --κάνω απλά λίγη άλγεβρα-- το ολοκλήρωμα της τετραγωνικής ρίζας του 4 μείον (x μείον 3) στο τετράγωνο dx. Τώρα αρχίζει να μοιάζει με μία μορφή που μ' αρέσει, αλλά μ' αρέσει να έχω 1 εδώ. Άρα ας βγάλω κοινό παράγοντα το 4. Αυτό, λοιπόν, ισούται, ας αλλάξω χρώμα, με το ολοκλήρωμα της ρίζας και μέσα θα έχουμε το 4 επί 1 μείον (x μείον 3) στο τετράγωνο προς 4. Απλά έβγαλα ένα 4 έξω από καθένα από τους δύο αυτούς όρους. Αν κάνω επιμεριστική εδώ, θα επιστρέψω εκεί, ακριβώς εκεί. dx εδώ. Και τώρα άρχισε να μοιάζει με μια μορφή που μ' αρέσει. Ας το απλοποιήσω κι άλλο. Οπότε αυτό ισούται με το ολοκλήρωμα, αν βγάλω το 4 έξω, γίνεται 2 επί τη ρίζα του 1 μείον, και μπορώ να το ξαναγράψω αυτό, ας το γράψω έτσι: 1 μείον (x μείον 3) δια 2 στο τετράγωνο dx. Και που βρήκα αυτό το 2; Απλά, αν τετραγωνίσω αυτά τα δύο, παίρνω (x μείον 3) στο τετράγωνο δια 2 στο τετράγωνο Που είναι σαν εκείνο. Άρα δεν έχω χρησιμοποιήσει διαφορικό λογισμό ακόμα. Απλά ξαναέγραψα αλγεβρικά αυτό το αόριστο ολοκλήρωμα σαν αυτό το αόριστο ολοκλήρωμα. Είναι ίσα. Αλλά αυτό ξαφνικά μοιάζει με μία μορφή που αναγνωρίζω. Σας έδειξα στο τελευταίο βίντεο ότι το συνημίτονο τετράγωνο του θ ισούται ακριβώς με 1 μείον ημίτονο τετράγωνο του θ. Θα μπορούσατε, μάλιστα, να το κάνετε ανάποδα. Θα μπορούσατε να δείξετε ότι το ημίτονο τετράγωνο ισούται με 1 μείον συνημίτονο τετράγωνο. Δεν έχει διαφορά. Αλλά θα δουλέψουν και τα δύο. Αλλά αυτό μοιάζει πάρα πολύ με αυτό. Στην πραγματικότητα, θα έμοιαζε ακριβώς με αυτό αν έλεγα ότι εκείνο ισούται με το ημίτονο τετράγωνο του θ. Άρα ας κάνω αυτήν την αντικατάσταση. Ας γράψω ότι (x μείον 3) δια 2 στο τετράγωνο ισούται με ημίτονο τετράγωνο θ. Τώρα αν διώξω τα τετράγωνα έχω (x μείον 3) δια 2 ισούται με ημίτονο θ. Τώρα ξέρετε που πάει αυτό. Θα πρέπει κάποτε να αντικαταστήσουμε ξανά το θ. Άρα ας λύσουμε ως προς θ. Μπορούμε, για το θ σε όρους του x, ας πούμε, να πάρουμε το τόξο ημιτόνου και στις δύο πλευρές εδώ. Παίρνουμε θ -- το τόξο ημιτόνου του ημιτόνου του θ είναι απλά θ. θ ισούται με το τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2. Καλό φαίνεται. Τώρα, για να αντικαταστήσουμε, όμως, θα πρέπει να βρούμε τι είναι το dx, θα πρέπει να λύσουμε ως προς x σε όρους θ. Ας το κάνω, λοιπόν. Άρα παίρνουμε, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο μεριές με 2, x μείον 3 ισούται με 2 επί ημίτονο θ, άρα x ισούται με 2 ημίτονο θ συν 3. Τώρα, αν παραγωγίσουμε ως προς θ και τις δύο πλευρές, παίρνουμε dx προς dθ ισούται με 2 συνημίτονο θ, η παράγωγος αυτού είναι απλά 0. Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο μεριές με dθ και έχουμε dx ισούται με 2 συνημίτονο θ dθ. Και είμαστε έτοιμοι για την αντικατάσταση στο ολοκλήρωμά μας. Οπότε αυτό εδώ θα ξαναγραφτεί ως ολοκλήρωμα 2 επί ρίζα --αν βρω λίγο χώρο-- 1 μείον --αντικαθιστώ αυτό με ημίτονο τετράγωνο θ, ... και όλο αυτό επί dx. Μόλις είπα ότι το dx ισούται με αυτό εδώ. Οπότε το dx ισούται με 2 συνημίτονο θ dθ. Πως απλοποιείται αυτό; Αυτό εδώ, είναι απλά το συνημίτονο τετράγωνο του θ. Και θα πάρουμε τη ρίζα του συνημιτόνου στο τετράγωνο θ. Οπότε αυτό, η ρίζα του συνημιτόνου τετράγωνο θ όλο αυτό, αυτό γίνεται η ρίζα του συνημιτόνου τετράγωνο θ που απλά είναι το ίδιο με το συνημίτονο του θ. Οπότε το ολοκλήρωμά μας ισούται με 2 επί την ρίζα του συνημιτόνου τετράγωνο θ που είναι απλά 2 επί συνημίτονο θ επί 2 επί συνημίτονο θ. Αυτό εδώ. Αυτό είναι αυτό και όλο αυτό το ριζικό είναι αυτό εδώ. Κάναμε όλα αυτά και πήραμε αυτό. Και όλο αυτό επί dθ. Τώρα, προφανώς, αυτό κάνει 4 συνημίτονο τετράγωνο θ dθ. Που και μόνο του, δεν είναι και εύκολο να λυθεί. Δεν ξέρω, δεν μπορώ να κάνω αντικατάσταση με u ή κάτι τέτοιο εδώ. Άρα τι κάνουμε; Λοιπόν, καταφεύγουμε στις παλιές, καλές, τριγωνομετρικές μας ταυτότητες. Δεν ξέρω αν αυτό το έχετε απομνημονεύσει, παρόλο που βρίσκεται στο εσώφυλλο των περισσότερων βιβλίων διαφορικού λογισμού ή στο εσώφυλλο των περισσότερων βιβλίων τριγωνομετρίας. Όμως, το συνημίτονο θ γράφεται 1/2 επί 1 συν συνημίτονο 2θ. Και αυτό το έχω αποδείξει σε πολλά βίντεο. Άρα ας κάνουμε αυτήν την αντικατάσταση. Ας αντικαταστήσω αυτό με εκείνο. Άρα αυτό το ολοκλήρωμα γίνεται 4 επί συνημίτονο τετράγωνο θ, αλλά το συνημίτονο τετράγωνο θ είναι αυτό. 4 επί 1/2 επί 1 συν συνημίτονο 2θ dθ. ... Τώρα αυτό φαίνεται ευκολότερο. Λοιπόν, τι έχουμε; 4 επί 1/2 κάνει 2. Άρα το ολοκλήρωμά μου γίνεται το ολοκλήρωμα του 2 συν 2 επί 2 συνημίτονο 2θ, όλο αυτό dθ. Τώρα αυτή η αντιπαράγωγος είναι αρκετά απλή. Τι είναι αυτό εδώ; Είναι η παράγωγος ως προς θ του ημιτόνου 2θ, σωστά; Όλο αυτό. Ποια είναι η παράγωγος του ημιτόνου 2θ; Πάρτε την παράγωγο του μέσα, αυτό είναι 2, επί την παράγωγο του έξω, συνημίτονο 2θ. Και αυτό, φυσικά, είναι η παράγωγος του 2θ. Άρα αυτό ισούται με την ατιπαράγωγο του 2 ως προς θ που είναι απλά 2θ, συν την αντιπαράγωγο αυτού, που είναι απλά ημίτονο 2θ, και μετά ένα συν c. Και, φυσικά, δεν μπορούμε να ξεχάσουμε πως το θ το ορίσαμε εμείς το αρχικό μας ολοκλήρωμα ήταν σε όρους του x. Άρα δεν μπορούμε να το αφήσουμε σε όρους του θ. Πρέπει να κάνουμε μία ανάποδη αντικατάσταση. Άρα ας θυμηθούμε, το θ ήταν ίσο με το τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2. Ας το γράψω εδώ στο πλάι. ... Τώρα, αν αντικαταστήσω απ' ευθείας αυτό το θ, θα πάρω ένα ημίτονο του 2 επί τόξο ημιτόνου του x μείον 3 δια 2, που θα ήταν σωστό. Και θα είχα ένα 2 επί τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2. Αυτό θα ήταν μία χαρά, και θα είχαμε τελειώσει. Αλλά αυτό δεν είναι ικανοποιητικό. Δεν είναι μία ωραία, καθαρή απάντηση. Άρα ας δούμε αν μπορούμε να το απλοποιήσουμε, για να είναι μόνο σε όρους του ημιτόνου θ. Όταν παίρνουμε το ημίτονο του τόξου ημιτόνου, απλοποιείται σε x μείον 3 δια 2. Ας το ξεκαθαρίσω. Αν μπορώ να γράψω όλο αυτό σε όρους ημιτόνου θ, επειδή το ημίτονο θ ισούται με το ημίτονο του τόξου ημιτόνου x μείον 3 δια 2, που είναι απλά ίσο με x μείον 3 δια 2, αν μπορώ να γράψω όλο αυτό σε όρους ημιτόνου θ, τότε μπορώ να κάνω αυτήν την αντικατάσταση. Ημίτονο θ ισούται με αυτό, και όλα απλοποιούνται αρκετά. Άρα ας δω αν μπορώ να το κάνω αυτό. Μπορεί να ξέρετε, ή να μην ξέρετε αυτήν την ταυτότητα, και την έχω αποδείξει και αυτή, ημίτονο 2θ ισούται με ημίτονο θ+θ που ισούται με ημίτονο θ συνημίτονο θ συνμ τα θ αλλάζουν θέση, ημίτονο θ συνημίτονο θ που είναι το ίδιο, άρα 2 επί ημίτονο θ συνημίτονο θ. Κάποιοι το θυμούνται αυτό απ' έξω, και, αν πρέπει ναι γράψετε διαγώνισμα στην τριγωνομετρική αντικατάσταση, δεν βλάπτει να το θυμάστε. Αλλά ας το ξαναγράψουμε αυτό έτσι. Οπότε το αόριστο ολοκλήρωμά μας σε όρους του θ, ή η αντιπαράγωγός μας, έγινε 2θ συν, αντί για ημίτονο 2θ, μπορούμε να γράψουμε 2 ημίτονο θ συνημίτονο θ, και φυσικά έχουμε ένα συν c. Τώρα θέλω να τα γράψω όλα σε όρους του ημιτόνου θ, αλλά έχω ένα συνημίτονο θ εδώ. Άρα τι μπορώ να κάνω; Λοιπόν ξέρουμε ότι το συνημίτονο τετράγωνο θ ισούται με 1 μείον ημίτονο τετράγωνο θ, ή ότι το συνημίτονο θ ισούται με τη ρίζα του 1 μείον ημίτονο τετράγωνο θ. Που φαίνεται σαν να το περιπλέκουμε, αλλά το ωραίο είναι πως είναι σε όρους του ημιτόνου θ. Άρα ας το κάνουμε αυτό. Ας αντικαταστήσουμε. Η αντιπαράγωγός μας ισούται με 2θ συν ημίτονο θ επί συνημίτονο θ, που ισούται με αυτό, τη ρίζα του 1 μείον ημίτονο τετράγωνο θ, και όλο αυτό συν c. Τώρα είμαστε στην τελική ευθεία. Αυτό το πρόβλημα ήταν πιθανώς δυσκολότερο απ' ό,τι περιμένατε. Ξέρουμε ότι το ημίτονο θ ισούται με x μείον 3 δια 2. Άρα ας κάνουμε την ανάποδη αντικατάσταση. Έχουμε 2θ. Αυτό είναι απλά 2θ, εδώ. Άρα αυτό είναι 2 επί, δεν μπορούμε να αποφύγουμε το τόξο ημιτόνου, αν έχουμε θ, πρέπει να πούμε ότι ισούται με τόξο ημιτόνου του x μείον 3 δια 2. Και μετά, ας αλλάξω χρώμα, συν 2 ημίτονο θ. Λοιπόν, αυτό είναι x μείον 3 δια 2. Άρα 2 επί x μείον 3 δια 2, και όλο αυτό επί ρίζα του 1 μείον ημίτονο τετράγωνο θ. Πόσο είναι; Είναι x μείον 3 δια 2 στο τετράγωνο. Και φυσικά έχουμε ένα συν c. Ας δούμε αν μπορούμε να το απλοποιήσουμε κι άλλο, τώρα που τελειώνουμε. Αυτό ισούται με 2 τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2 συν, αυτά τα 2 φεύγουν, συν x μείον 3, επί ρίζα του, ας πολλαπλασιάσουμε με ... ε... αυτό ισούται με.... 1 μείον x μείον 3 δια 4. Αυτό στο τετράγωνο. Αυτή η "απλοποίηση" μου παίρνει περισσότερο απ' ό,τι περίμενα. Αλλά ας δούμε αν μπορούμε να α το απλοποιήσουμε κι άλλο. Ας επικεντρωθώ σε αυτό. Ας το πολλαπλασιάσω και το διαιρέσω με 2 Ας το γράψω επί 2/2. Γιατί το κάνω αυτό; Για να το ξαναγράψω, ας το ξαναγράψω όλο. Έχω 2 τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2 και μετά θα πάρω αυτόν τον παρονομαστή. Άρα λέω, συν x μείον 3 δια 2. Αυτό το 2 είναι εκείνο το 2. Και μετά μπορώ να γράψω αυτό το 2 ως ρίζα 4. Επί ρίζα 4, επί ρίζα όλου αυτού. 1 μείον x μείον 3 τετράγωνο δια 4. Νομίζω βλέπετε που το πάω. Περίπου αντιστρέφω όσα έκανα στην αρχή του προβλήματος. Και μάλλον επικεντρώνομαι υπερβολικά στο να το απλοποιήσω όσο περισσότερο γίνεται, αλλά είμαι κοντά άρα ας το τελειώσω. Άρα έχω 2 επί τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2, που κουράστηκα να το γράφω, συν x μείον 3 δια 2, και αυτό, ρίζα 4 επί την άλλη ρίζα, ισούται με ρίζα 4 επί αυτό. Άρα είναι 4 μείον x μείον 3 τετράγωνο, και όλο αυτό συν c. Και είμαστε στην τελική ευθεία. Αυτό κάνει 2 τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2 συν x μείον 3 δια 2 επί ρίζα 4 μείον x τετράγωνο, μείον 6x συν 9. Και αυτό γίνεται 6x μείον x τετράγωνο και μετά έχουμε 4 μείον 9 δηλαδή μείον 5. που είναι η αρχική μας αντιπαράγωγος. ... Άρα επιτέλους τελειώσαμε! Έχουμε ότι η αντιπαράγωγος είναι 2 τόξο ημιτόνου x μείον 3 δια 2 συν x μείον 3 δια 2 επί ρίζα 6x μείον x τετράγωνο μείον 5. Αυτή είναι η αντιπαράγωγος αυτού του πράγματος στην κορυφή, ακριβώς εδώ. Άρα αυτό ισούται με την αντιπαράγωγο της ρίζας 6x μείον x τετράγωνο μείον 5 dx. Και φαντάζομαι πως μάλλον κουραστήκατε όσο κι εγώ. Το χέρι μου πραγματικά πονάει. Αλλά ελπίζω να είστε κάπως ευχαριστημένοι. Κάποιες φορές παίρνω παράπονα πως κάνω μόνο εύκολα προβλήματα. Λοιπό, αυτό ήταν κάπως μεγάλο και όχι και τόσο εύκολο πρόβλημα.