Γιατί αρνητικός επί αρνητικό είναι θετικός

Ας πούμε ότι είστε ένας αρχαίος σοφιστής, που ορίζει τα μαθηματικά από την αρχή, και έχετε ήδη εισάγει την έννοια των αρνητικών αριθμών, και έχετε ήδη εισάγει την έννοια των αρνητικών αριθμών, την πρόσθεση και την αφαίρεσή τους, και έρχεστε λοιπόν αντιμέτωποι με το ερώτημα: "Πως πολλαπλασιάζουμε αρνητικούς αριθμούς';" Πως πολλαπλασιάζουμε έναν θετικό με έναν αρνητικό ή δύο αρνητικούς αριθμούς; Για παράδειγμα. Δεν είστε ακόμα σίγουροι τι θα συμβεί αν πολλαπλασιάσετε το 5 με το -3. και επίσης δεν ξέρετε τι θα συμβεί αν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς το -2 με το -6. Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι να ορίσετε τις παραπάνω πράξεις με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε να υπάρχει μία συνοχή και συνέπεια, με τις υπόλοιπες ιδιότητες που γνωρίζετε, και ειδικότερα με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Αντί λοιπόν να υπολογίσουμε αμέσως το 5 επί το -3, μπορούμε να πειραματιστούμε με την επιμεριστική ιδιότητα. Πόσο κάνει 5 επί (3 συν το -3); Έχετε ήδη ορίσει την πρόσθεση των ομόσημων και ετερόσημων αριθμών, γνωρίζετε ότι ο αντίθετος του 3 είναι το -3, και ότι το άθροισμα των αντίθετων αριθμών είναι ίσο με το 0, άρα αυτό είναι ίσο με 5 επί 0, που κάνει 0. Οτιδήποτε πολλαπλασιάσουμε με το 0 κάνει μηδέν. Άρα αυτό, σύμφωνα με όσα έχετε ορίσει πρέπει να κάνει 0. Εμείς όμως θέλουμε ο πολλαπλασιασμός των ετερόσημων αριθμών που ψάχνουμε, να είναι συνεπής με την επιμεριστική ιδιότητα, πράγμα που σημαίνει, ότι πρέπει να μπορούμε να εφαρμόσουμε την ιδιότητα. Άρα 5 επί 3 συν 5 επί -3 πρέπει να κάνει 0. Άρα 5 επί 3 συν 5 επί -3 πρέπει να κάνει 0. 5 επί 3 ξέρουμε ότι κάνει 15, 5 επί 3 ξέρουμε ότι κάνει 15, και 15 συν όσο κάνει το 5 επί -3 πρέπει να κάνει 0. 15 συν πόσο κάνει λοιπόν 0; -15 συν 15 κάνει μηδέν άρα για να είναι αυτό αληθές, το 5 επί το -3 πρέπει να είναι ίσο με το -15. Άρα συν 5 επί -3 είναι ίσο με -15. Αυτό επαληθεύεται και αν προσθέσουμε το -3, πέντε φορές. Αυτό επαληθεύεται και αν προσθέσουμε το -3, πέντε φορές. Πάμε να δούμε τώρα, πόσο κάνει ένας πολλαπλασιασμός αρνητικών αριθμών κάνοντας την ίδια διαδικασία. Θέλοντας λοιπόν να είμαστε συνεπής πάλι, με την επιμεριστική ιδιότητα, πόσο πρέπει να κάνει -2 επί το 6 συν το -6; Το 6 συν το -6 κάνει 0 και -2 επί 0 κάνει 0, οτιδήποτε πολλαπλασιάσουμε με το 0 κάνει 0. Κάνουμε την επιμεριστική και παίρνουμε: -2 επί 6 συν -2 επί το -6, είναι ίσο με 0, και σύμφωνα με αυτό που είδαμε πριν, το -2 επί 6 είναι ίσο με -12. Μπορούμε να το δούμε και αλλιώς, 2 εξάδες προς τα αριστερά του 0, στον άξονα, είναι επίσης ίσο με -12, ή μπορούμε απλά να προσθέσουμε το -2 έξι φορές. Είδαμε πριν ότι συν επί πλην, κάνει πλην, άρα -2 επί 6, είναι ίσο με -12, Είδαμε πριν ότι συν επί πλην, κάνει πλην, άρα -2 επί 6, είναι ίσο με -12, συν όσο είναι αυτό, είναι ίσο με το 0. συν όσο είναι αυτό, είναι ίσο με το 0. Και τι πρέπει να προσθέσουμε στο -12 για να γίνει μηδέν; Γνωρίζουμε ότι -12 συν 12 κάνει 0, άρα αυτός ο πολλαπλασιασμός πρέπει να κάνει +12. Κάπως έτσι μπορούμε να καταλάβουμε γιατί πλην επί πλην κάνει συν, και ίσως δούμε και άλλα τέτοια βίντεο με ανάλογους τρόπους που να μπορούμε να αντιληφθούμε πιο καλά τις έννοιες αυτές.