Κύριο περιεχόμενο
Μάθημα: AP®︎ Λογισμός BC > Ενότητα 10
Μάθημα 14: Finding Taylor or Maclaurin series for a function- Συνάρτηση ως γεωμετρική σειρά
- Geometric series as a function
- Power series of arctan(2x)
- Power series of ln(1+x³)
- Συνάρτηση ως γεωμετρική σειρά
- Maclaurin series of cos(x)
- Maclaurin series of sin(x)
- Maclaurin series of eˣ
- Worked example: power series from cos(x)
- Worked example: cosine function from power series
- Worked example: recognizing function from Taylor series
- Maclaurin series of sin(x), cos(x), and eˣ
- Visualizing Taylor series approximations
- Euler's formula & Euler's identity
- Geometric series interval of convergence
© 2024 Khan AcademyΌροι χρήσηςΠολιτική Προστασίας Προσωπικών ΔεδομένωνΕιδοποίηση Cookie
Visualizing Taylor series approximations
The larger the degree of a Taylor polynomial, the better it approximates the function. See that in action with sin(x) and its Taylor polynomials. Δημιουργήθηκε από τον Σαλ Καν.
Θέλετε να συμμετάσχετε σε μια συζήτηση;
Δεν υπάρχουν αναρτήσεις ακόμα.
Απομαγνητοφώνηση βίντεο
Έχω μιλήσει αρκετά για τη χρήση πολυωνύμων στην προσέγγιση συναρτήσεων. Αλλά αυτό που θέλω να κάνω είναι να σας δείξω την προσέγγιση να συμβαίνει στην πραγματικότητα. Οπότε εδώ δεξιά χρησιμοποιώ το Wolfram Alpha για αυτό. Είναι ένας πολύ καλός ιστότοπος όπου μπορείς να κάνεις όλων των ειδών τα τρελά μαθηματικά πράγματα σε αυτό. Βρίσκεται στη διεύθυνση wolframalpha.com, την έκανα αντιγραφή - επικόλληση. Γνώρισα τον Steven Wolfram σε ένα συνέδριο όχι πριν πολύ καιρό. Είπε "ναι φυσικά και να χρησιμοποιήσεις το Wolfram Alpha στα βίντεο" και εγώ απάντησα "τέλεια θα το κάνω", και λοιπόν αυτό είναι που χρησιμοποιώ σε αυτό το σημείο και είναι απίστευτα χρήσιμο επειδή αυτό που κάνει (ενώ θα μπορούσαμε όλο αυτό να το υπολογίσουμε από μόνοι μας, ακόμη και σε γραφικό μαθηματικό περιβάλλον, ή μπορούμε να το κάνουμε απλά με ένα βήμα στο Wolfram Alpha) είναι να μας δείξει πόσο καλά μπορούμε να προσεγγίσουμε το ημίτονο του χι χρησιμοποιώντας μία επέκταση των σειρών Maclaurin ή αλλιώς μια επέκταση σειρών του Taylor για x = 0 χρησιμοποιώντας όλο και περισσότερους όρους, έχοντας μια καλή αίσθηση για το γεγονός ότι όσους περισσότερους όρους προσθέτουμε τόσο καλύτερα η σειρά 'αγκαλιάζει' την ημιτονοειδή καμπύλη. Οπότε, αυτό εδώ με το πορτοκαλί είναι το ημίτονο του x. Θα έπρεπε να σας φαίνεται αρκετά οικεία. Και σε προηγούμενα βίντεο έχουμε καταλάβει τι είναι η επέκταση Maclaurin για το ημίτονο του x και την κάνει το Wolfram Alpha για εμάς όπως επίσης υπολογίζει και τα παραγοντικά για εμάς. 3! = 6, 5! = 120, και τα λοιπά. Το ενδιαφέρον εδώ είναι ότι μπορούμε να διαλέξουμε πόσες προσεγγίσεις θέλουμε να σχεδιαστούν γραφικά. Και λοιπόν αυτό που κάνει είναι αν θέλετε μόνο έναν όρο της προσέγγισης, αν απλά θέταμε όλο το πολυώνυμο ίσο με x πώς θα έμοιαζε αυτό; Λοιπόν αυτό θα ήταν αυτό το γράφημα ακριβώς εδώ. Μας δείχνει πόσους από τους όρους χρησιμοποιήσαμε από τον αριθμό των κουκίδων που βρίσκονται εκεί, κάτι που θεωρώ πολύ έξυπνο. Οπότε, αυτή ακριβώς εδώ, αυτή είναι η συνάρτηση p(x). p(x) = x