Proof of infinite geometric series formula

Say we have an infinite geometric series whose first term is

a

and common ratio is

r

. If

r

is between

- 1

and

1

(i.e.

| r | < 1

), then the series converges into the following finite value:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} a \cdot r^{i} = \frac{a}{1 - r}

The AP Calculus course doesn't require knowing the proof of this fact, but we believe that as long as a proof is accessible, there's always something to learn from it. In general, it's always good to require some kind of proof or justification for the theorems you learn.

First, let's get some intuition for why this is true. This isn't a formal proof but it's quite insightful.

Περιτύλιγμα βίντεο της Ακαδημίας Khan

Infinite geometric series formula intuitionΔείτε μεταγραφή του βίντεο

Now we can prove the formula more formally.

Περιτύλιγμα βίντεο της Ακαδημίας Khan

Proof of infinite geometric series as a limitΔείτε μεταγραφή του βίντεο

Θέλετε να συμμετάσχετε σε μια συζήτηση;

Συνδεθείτε

Ταξινόμηση κατά:

Δεν υπάρχουν αναρτήσεις ακόμα.

Μπορείς να διαβάσεις στα Αγγλικά; Κάνε κλικ εδώ για να δείτε περισσότερες συζητήσεις που συμβαίνουν στην αγγλική ιστοσελίδα της Khan Academy.