Ανασκόπηση στα ολικά μέγιστα και ελάχιστα

Ένα ολικό μέγιστο σημείο είναι ένα σημείο όπου η συνάρτηση αποκτά τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή. Ομοίως, ένα ολικό ελάχιστο σημείο είναι ένα σημείο όπου η συνάρτηση λαμβάνει τη μικρότερη δυνατή τιμή.

Αν υποθέσουμε ότι ήδη ξέρετε πώς να βρείτε τοπικά ελάχιστα & μέγιστα, η εύρεση ολικών ακρότατων περιλαμβάνει ένα ακόμη βήμα: λαμβάνοντας υπόψη τα άκρα και στις δύο κατευθύνσεις.

Το θεώρημα της ακραίας τιμής μας λέει ότι μια συνεχής συνάρτηση πρέπει να έχει απόλυτες ελάχιστες και μέγιστες τιμές σε κλειστό χρονικό διάστημα. Αυτές οι ακραίες τιμές λαμβάνονται, είτε σε ένα σχετικό ακραίο σημείο εντός του διαστήματος, ή στα άκρα του διαστήματος.

Ας βρούμε, για παράδειγμα, το ολικό ακρότατα του $h(x)=2x^3+3x^2-12x$‍ κατά το διάστημα $-3\le x\le 3$‍.

$h^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$‍, έτσι τα κρίσιμα σημεία μας είναι $x=-2$‍ και $x=1$‍. Χωρίζουν το κλειστό διάστημα $-3\le x\le 3$‍ σε τρία μέρη:

Τώρα βλέπουμε τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος:

Στο κλειστό διάστημα $-3\le x\le 3$‍, τα σημεία $(-3,9)$‍ και $(1,7)$‍ είναι τοπικά ελάχιστα και τα σημεία $(-2,20)$‍ και $(3,45)$‍ είναι τοπικά μέγιστα.

Παρατηρήστε ότι η ολικά ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται εντός του διαστήματος και η ολικά μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται σε τελικό σημείο.

Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις ολικά μέγιστη ή ελάχιστη τιμή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους. Για παράδειγμα, η γραμμική συνάρτηση $f(x)=x$‍ δεν έχει ένα ολικό ελάχιστο ή μέγιστο (μπορεί να είναι όσο χαμηλή ή όσο υψηλή θέλουμε).

Ωστόσο, ορισμένες συναρτήσεις έχουν ένα ολικό ακρότατα σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους. Ας αναλύσουμε, για παράδειγμα, τη συνάρτηση $g(x)=x{e}^{3x}$‍.

Η $g^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x)$‍, οπότε μόνο κρίσιμο σημείο μας είναι το $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍.

Ας φανταστούμε να προχωράμε την γραφική της $g$‍, ξεκινώντας από τα αριστερά (από το $-\mathrm{\infty }$‍) και πηγαίνοντας προς τα δεξιά (ως το $+\mathrm{\infty }$‍).

Θα ξεκινήσουμε πηγαίνοντας κάτω και κάτω μέχρι να φτάσουμε στο $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Στη συνέχεια, θα πάμε συνεχώς προς τα πάνω. Έτσι, η $g$‍ έχει ένα ολικό ελάχιστο σημείο στο $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$‍. Η συνάρτηση δεν έχει ολικά μέγιστη τιμή.