Newton, Leibniz, and Usain Bolt

Αυτή είναι η εικόνα του Ισαάκ Νεύτωνα, του πασίγνωστου Άγγλου μαθηματικού και φυσικού, και αυτή είναι η εικόνα του Γερμανού Γκότφριντ Λάιμπνιτζ πασίγνωστου μεν αλλά ίσως όχι τόσο όσο θα έπρεπε. Ήταν φιλόσοφος και μαθηματικός και σύγχρονος του Ισαάκ Νεύτωνα. Αυτοί οι δύο κύριοι ήταν οι πατέρες της Μαθηματικής Ανάλυσης και πραγματοποίσαν το σημαντικότερο έργο τους στα τέλη του 17ου αιώνα. Στη μέση έχουμε τον Γιουσέιν Μπολτ, είναι ο Τζαμαϊκανός σπρίντερ που συνεχίζει να παρουσιάζει κορυφαίες επιδόσεις εν έτει 2012 από τις αρχές του οποίου θεωρείται ο γρηγορότερος άνθρωπος του κόσμου. Πιθανότατα είναι ο γρηγορότερος άνθρωπος που έχει ζήσει ποτέ. Ίσως να μην σας είναι εμφανής η σχέση μεταξύ αυτών των τριών ανθρώπων Μπορεί να μην πιστεύεται ότι έχουν πολλά κοινά αλλά όλοι τους είχαν εμμονή με το ίδιο βασικό ερώτημα το οποίο μας απασχολεί στην Διαφορική Ανάλυση. Το ερώτημα είναι: Ποιος είναι ο Στιγμιαίος Ρυθμός Μεταβολής μίας ποσότητας; Στην περίπτωση του Γιουσέιν Μπολτ αυτός ο λόγος μεταβολής είναι η ταχύτητά του μία συγκεκριμένη στιγμή. Όχι απλά η μέση ταχύτητά του το τελευταίο δευτερόλεπτο ή μέση ταχύτητά του στα επόμενα 10 δευτερόλεπτα αλλά το πόσο γρήγορα τρέχει ακριβώς τώρα. Αυτή λοιπόν είναι η κύρια ιδέα στον Διαφορικό Λογισμό - ο Στιγμιαίος Ρυθμός Μεταβολής. Ο όρος που χρησιμοποιούσε ο Νεύτωνας για τον Διαφορικό Λογισμό ήταν η μέθοδος κυρτότητας η ουσία πάντως είναι το τι συμβαίνει ακριβώς αυτήν την στιγμή. Και για να καταλάβουμε το γιατί δεν είναι το πιο εύκολο πράγμα να προσεγγίσουμε το πρόβλημα αλγεβρικά ας σχεδιάσουμε μία γραφική παράσταση. Στον κατακόρυφο άξωνα έχω την απόσταση άρα y=απόσταση. Θα μπορούσα να πω d=απόσταση (distance) αλλά όπως θα δούμε παρακάτω στην ανάλυση το d αποτελεί συμβολισμό για κάτι άλλο. Θα λέμε ότι y=απόσταση. Στον οριζόντιο άξωνα έχουμε τον χρόνο και θα μπορούσα να πω t=χρόνος (time) αλλά θα πω x=χρόνος. Άρα εάν σχεδιάζαμε την θέση του Γιουσέιν Μπολτ συναρτήσει του χρόνου τότε την χρονική στιγμή 0 δεν έχει μετακινηθεί πουθενά είναι ακριβώς εδώ και ξέρουμε ότι αυτός ο κύριος είναι ικανός να καλύπτει 100 μέτρα σε 9,58 δευτερόλεπτα άρα σε 9,58 δευτερόλεπτα (θα υποθέσουμε ότι μετράμε σε δευτερόλεπτα εδω) είναι ικανός να τρέξει 100 μέτρα οπότε χρησιμοποιώντας αυτήν την πληροφορία μπορούμε να βρούμε την Μέση Ταχύτητά του. Η μέση ταχύτητά του είναι απλώς ο λόγος: Μεταβολή της Απόστασης (Δdistance) προς τη Μεταβολή του Χρόνου (Δtime). Και χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές που είχαμε δηλώσει εδώ, αυτό είναι το ίδιο με Δy προς Δχ (Δx: από αυτό το σημείο μέχρι αυτό το σημείο) και αυτό ίσως να σας φένεται γνώριμο από την απλή άλγεβρα. Αυτή είναι η κλίση που προκύπτει από τα δύο σημεία. Εάν είχα μια γραμμή που να ενώνει τα δύο σημεία αυτή θα ήταν η κλήση της γραμμής η μεταβολή στην απόσταση είναι στον άξονα y όπου Δy=100 m και η μεταβολή στον χρόνο είναι στον άξονα χ όπου Δχ=9,58 sec, ξεκινάμε από 0 και φτάνουμε στα 9,58 sec. Άλλος ένας τρόπος για να το δούμε είναι η άνοδος προς το μήκος μπορεί να το είχατε ακούσει σε κάποιο μάθημα άλγεβρας. Θα είναι 100 m σε 9,58 sec Οπότε αυτό είναι 100 m σε 9,58 sec Και η κλήση είναι στην ουσία ο Ρυθμός Μεταβολής, ή καλύτερα ο Μέσος Ρυθμός Μεταβολής, ανάμεσα σε αυτά τα δύο σημεία. Και αν παρατηρήσετε οι πράξεις μεταξύ των μονάδων που επιλέξαμε (μέτρα ,δευτερόλεπτα) μας δίνουν μονάδες ταχύτητας (μέτρα/δευτερόλεπτα) Αν ορίσουμε και Κατεύθυνση θα έχουμε κατευθυνόμενη ταχύτητα. Και μπορούμε να βρούμε την τιμή της. Ασ βγάλω μια αριθμομηχανή. Ένα λεπτό να φέρω την αριθμομηχανή στην οθόνη. Καλύπτουμε 100 m σε 9,58 sec άρα η ταχύτητα είναι γύρω στα 10,4 m/sec και οι μονάδες είναι μέτρα ανά δευτερόλεπτα Και αυτή είναι η Μέση Ταχύτητα. Και τώρα θα δούμε πως οι Μέση Ταχύτητα είναι διαφορετική από την Στιγμιαία Ταχύτητα. Πως είναι διαφορετική δηλαδή από την ταχύτητά του σε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Και για να πάρουμε μια ιδέα το κατά πόσο γρήγορα τρέχει ας ξαναβγάλω την αριθμομηχανή. Εάν ψάχνετε το πόσα μέτρα καλύπτει σε μία ώρα, σκεφτήτε ότι έχουμε 3600 δευτερόλεπτα σε μία ώρα. Άρα θα καλύψει τόσα μέτρα (10,4) 3600 φορές. Άρα τόσα είναι τα μέτρα που θα κάλυπτε αν θα μπορούσε να κρατήσει αυτή την ταχύτητα για μία ώρα, αυτή είναι η ταχύτητά του σε μέτρα ανά ώρα. Και αν θα θέλατε να βρείτε το πόσα μίλια καλύπτει την ώρα είναι περίου 1600 μέτρα σε ένα μίλι και δεν ξέρω τον ακριβή αριθμό αλλά ας πούμε περίπου 1600 μέτρα έχει το μίλι άρα ας το διαιρέσουμε με το 1600 και απ' ότι βλέπεται είναι λίγο παραπάνω από 23 km/h σχεδον 23 και 1/2 μιλια την ωρα. Αυτο ειναι περιπου... Επιτρεψτε μου να το γραψω με αυτον τον τροπο, αυτο ειναι περιπου 23.5 μιλια/ωρα (mph) Επιτρέψτε μου να μετακινησω αυτο να μην τα στριμωξω. Μιλια την ωρα. Και σε σχεσει με το αυτοκινητο οχι και τοσο γρηγορα, αλλα σε σχεσει με μενα, πολυ γρηγορα. Τωρα, για να δουμε πως αυτο ειναι διαφορετικο απο τη στιγμιαία ταχύτητα, Ας σκεφτούμε το ενδεχόμενο της απόστασης του σε σχέση με το χρόνο Δεν πρόκειται να πάρει την ταχύτητα αμέσως. Δεν προκειται να προχωρηση αμεσως οταν το όπλο πυροβολη. Δεν θα πάει αμεσως 23 και 1/2 mph για ολλη τη διαδρομη. Θα πρέπει να επιταχυνθεί. Ετσι πρωτα,