Μαθηματικά μοτίβα: οδοντογλυφίδες

Ας πούμε ότι θέλουμε να φτιάξουμε σπιτάκια με οδοντογλυφίδες και ας πούμε ότι αυτό είναι το 1ο μας σπιτάκι. Χρησιμοποιήσαμε 6 οδοντογλυφίδες για να το φτιάξουμε. Θα φτιάξουμε και έναν πίνακα για να σημειώνουμε λίγο τι συμβαίνει. Στην πρώτη στήλη θα γράψουμε τον αριθμό των σπιτιών Στην πρώτη στήλη θα γράψουμε τον αριθμό των σπιτιών και στη δεύτερη στήλη θα βάζουμε πόσες οδοντογλυφίδες χρησιμοποιήσαμε. Το πρώτο σπίτι λοιπόν το φτιάξαμε με 6 οδοντογλυφίδες. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Πάμε τώρα να φτιάξουμε ένα δεύτερο σπίτι και επειδή είναι σπίτια πόλης θα είναι το ένα, ακριβώς δίπλα στο άλλο άρα θα έχουν και έναν τοίχο κοινό. 1,2,3,4,5 λοιπόν οδοντογλυφίδες για το 2ο σπίτι. Γιατί όμως το έφτιαξα με 5 και όχι με 6 οδοντογλυφίδες; Επειδή όπως είπαμε έχουν έναν κοινό τοίχο δεν χρειάζεται να βάλω οδοντογλυφίδα εδώ. Αφού είχαμε λοιπόν ήδη το πρώτο σπίτι στο δεύτερο βάλαμε μόνο 5 οδοντογλυφίδες άρα συνολικά και για τα 2 σπίτια έχουμε 11 οδοντογλυφίδες. άρα συνολικά και για τα 2 σπίτια έχουμε 11 οδοντογλυφίδες. Πάμε τώρα να δούμε τα 3 σπίτια. Θα βάλουμε πάλι 5 οδοντογλυφίδες και πάμε συνολικά στις 16 οδοντογλυφίδες. Ας κάνουμε και ένα τέταρτο σπίτι. 1,2,3,4,5 οδοντογλυφίδες άρα στα 5 σπίτια έχουμε συνολικά 21 οδοντογλυφίδες. Χρησιμοποιώντας τώρα την ίδια λογική μπορούμε να βρούμε πόσες οδοντογλυφίδες χρειάζονται για να φτιάξουμε 50,500 ή και 5000 τέτοια σπίτια; για να φτιάξουμε 50,500 ή και 5000 τέτοια σπίτια; Το μόνο που χρειάζεται, είναι να δούμε λίγο το μοτίβο που έχει εμφανιστεί εδώ και να δούμε αν μπορούμε να βρούμε κάποια σχέση που να τα συνδέει όλα αυτά. Εμείς ξεκινήσαμε με 6 οδοντογλυφίδες για το 1ο σπίτι και κάθε φορά προσθέταμε 5 για κάθε σπίτι. Στο δεύτερο σπίτι λοιπόν απλά προσθέσαμε 5. Στο τρίτο είχαμε πάλι 6 και προσθέσαμε δύο φορές το 5. Στο 4ο σπίτι ξεκινήσαμε με 6 και προσθέσαμε 3 φορές το 5. Το 21 είναι ίσο με 6 που είχε το 1ο σπίτι και 3 σπίτια επί 5 οδοντογλυφίδες το καθένα, 5 επί 3. Στα 3 σπίτια, ξεκινήσαμε όπως είπαμε με 6 και προσθέσαμε 2 σπίτια από 5 οδοντογλυφίδες άρα 5 επί 2. Στα 2 σπίτια, 6 από το 1ο σπίτι άρα 6, άρα 6, συν 5 από το δεύτερο σπίτι. Τέλος το 1ο σπίτι είναι απλά ίσο με 6 και αν θέλουμε να το προσαρμόσουμε στο μοντέλο μας, πόσα 5ρια έχουμε προσθέσει; Κανένα, άρα συν 0 πεντάρια 5 επί 0. Τώρα σε αυτό το σημείο μπορεί να έχετε ήδη δει το μοτίβο μας. Παρατηρήστε ότι κάθε φορά παίρνουμε ένα λιγότερο 5ρι από τα σπίτια που έχουμε και προσθέτουμε και 6 ακόμα. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζουμε πόσες οδοντογλυφίδες έχουμε κάθε φορά. Ας το γράψουμε. Εδώ λοιπόν έχουμε 6 συν 5 επί 4 σπίτια μείον 1. 6 συν 5 επί 3 μείον 1, 6 συν 5 επί 3 μείον 1, 6 συν 5 επί 2 μείον 1 6 συν 5 επί 1 μείον 1. Έτσι όπως το γράψαμε τώρα, ίσως φαίνεται πιο καθαρά το μοντέλο μας αφού αυτό εδώ το 4, είναι αυτό εδώ το 3 είναι αυτό το 2 αυτό, το 1 αυτό είναι αυτό, και μας δείχνουν τον αριθμό σπιτιών που έχουμε κάθε φορά. Σε αυτό το σημείο λοιπόν νομίζω ότι είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε τον αριθμό των οδοντογλυφίδων αν είχαμε 50 σπίτια. Για να δούμε. Ας πούμε λοιπόν ότι εδώ έχουμε το 50ο μας σπίτι και αυτός είναι ο τοίχος που μοιράζεται με το διπλανό του σπίτι. Πόσες οδοντογλυφίδες έχουμε χρησιμοποιήσει συνολικά; Πάμε να το γράψουμε σύμφωνα με το μοντέλο που φτιάξαμε. Πάμε να το γράψουμε σύμφωνα με το μοντέλο που φτιάξαμε. Ξεκινήσαμε λοιπόν με τις 6 οδοντογλυφίδες του 1ου σπιτιού Ξεκινήσαμε λοιπόν με τις 6 οδοντογλυφίδες του 1ου σπιτιού Ξεκινήσαμε λοιπόν με τις 6 οδοντογλυφίδες του 1ου σπιτιού και στη συνέχεια προσθέτουμε 5 για κάθε επιπλέον σπίτι. Συν 5 λοιπόν, και πόσα επιπλέον σπίτια έχουμε; 50 μείον 1. Γιατί μείον 1 όμως; Γιατί το πρώτο σπίτι το έχουμε ήδη πάρει με το 6. Για κάθε επιπλέον σπίτι θέλουμε 5 οδοντογλυφίδες άρα στα 49 από τα 50 σπίτια. Το 1ο έχει 6 οδοντογλυφίδες. 6 λοιπόν συν 5 επί 49, 6 λοιπόν συν 5 επί 49, 5 επί 49 είναι ίσο με 245, συν 6 ακόμα 251 οδοντογλυφίδες. συν 6 ακόμα 251 οδοντογλυφίδες. Το ωραίο τώρα σε όλο αυτό είναι ότι θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε πόσες οδοντογλυφίδες θέλουμε και για ένα εκατομμύριο τέτοια σπιτάκια κ.ο.κ.